Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0omnd Structured version   Unicode version

Theorem nn0omnd 28069
Description: The nonnegative integers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0omnd  |-  (flds  NN0 )  e. oMnd

Proof of Theorem nn0omnd
StepHypRef Expression
1 df-refld 18817 . . . 4  |- RRfld  =  (flds  RR )
21oveq1i 6280 . . 3  |-  (RRfld ↾s  NN0 )  =  ( (flds  RR )s 
NN0 )
3 reex 9572 . . . 4  |-  RR  e.  _V
4 nn0ssre 10795 . . . 4  |-  NN0  C_  RR
5 ressabs 14785 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  NN0  C_  RR )  ->  (
(flds  RR )s  NN0 )  =  (flds  NN0 ) )
63, 4, 5mp2an 670 . . 3  |-  ( (flds  RR )s  NN0 )  =  (flds  NN0 )
72, 6eqtri 2483 . 2  |-  (RRfld ↾s  NN0 )  =  (flds  NN0 )
8 reofld 28068 . . . 4  |- RRfld  e. oField
9 isofld 28030 . . . . . 6  |-  (RRfld  e. oField  <->  (RRfld  e. Field  /\ RRfld  e. oRing ) )
109simprbi 462 . . . . 5  |-  (RRfld  e. oField  -> RRfld  e. oRing
)
11 orngogrp 28029 . . . . 5  |-  (RRfld  e. oRing  -> RRfld  e. oGrp
)
12 isogrp 27929 . . . . . 6  |-  (RRfld  e. oGrp  <->  (RRfld  e.  Grp  /\ RRfld  e. oMnd ) )
1312simprbi 462 . . . . 5  |-  (RRfld  e. oGrp  -> RRfld  e. oMnd
)
1410, 11, 133syl 20 . . . 4  |-  (RRfld  e. oField  -> RRfld  e. oMnd
)
158, 14ax-mp 5 . . 3  |- RRfld  e. oMnd
16 nn0subm 18671 . . . . 5  |-  NN0  e.  (SubMnd ` fld )
17 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (flds  NN0 )  =  (flds  NN0 )
1817submmnd 16187 . . . . 5  |-  ( NN0 
e.  (SubMnd ` fld )  ->  (flds  NN0 )  e.  Mnd )
1916, 18ax-mp 5 . . . 4  |-  (flds  NN0 )  e.  Mnd
207, 19eqeltri 2538 . . 3  |-  (RRfld ↾s  NN0 )  e. 
Mnd
21 submomnd 27937 . . 3  |-  ( (RRfld 
e. oMnd  /\  (RRfld ↾s  NN0 )  e.  Mnd )  ->  (RRfld ↾s  NN0 )  e. oMnd )
2215, 20, 21mp2an 670 . 2  |-  (RRfld ↾s  NN0 )  e. oMnd
237, 22eqeltrri 2539 1  |-  (flds  NN0 )  e. oMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   NN0cn0 10791   ↾s cress 14720   Mndcmnd 16121  SubMndcsubmnd 16167   Grpcgrp 16255  Fieldcfield 17595  ℂfldccnfld 18618  RRfldcrefld 18816  oMndcomnd 27924  oGrpcogrp 27925  oRingcorng 28023  oFieldcofld 28024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-0g 14934  df-preset 15759  df-poset 15777  df-plt 15790  df-toset 15866  df-ps 16032  df-tsr 16033  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-subg 16400  df-cmn 17002  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-dvr 17530  df-drng 17596  df-field 17597  df-subrg 17625  df-cnfld 18619  df-refld 18817  df-omnd 27926  df-ogrp 27927  df-orng 28025  df-ofld 28026
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator