Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0oALTV Structured version   Unicode version

Theorem nn0oALTV 38695
Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0oALTV  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e. Odd  )  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0oALTV
StepHypRef Expression
1 oddm1div2z 38634 . . 3  |-  ( N  e. Odd  ->  ( ( N  -  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )
21adantl 467 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e. Odd  )  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
3 elnn0 10878 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
4 nnm1ge0 11011 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( N  -  1 ) )
5 nnre 10623 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
6 peano2rem 9948 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
75, 6syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
8 2re 10686 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
10 2pos 10708 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  2 )
12 ge0div 10479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  2 )  ->  (
0  <_  ( N  -  1 )  <->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )
137, 9, 11, 12syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <_  ( N  -  1 )  <->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )
144, 13mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )
1514a1d 26 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e. Odd  ->  0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
16 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  e. Odd  <->  0  e. Odd  )
)
17 0noddALTV 38688 . . . . . . 7  |-  0  e/ Odd
18 df-nel 2617 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e/ Odd 
<->  -.  0  e. Odd  )
19 pm2.21 111 . . . . . . . 8  |-  ( -.  0  e. Odd  ->  (
0  e. Odd  ->  0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
2018, 19sylbi 198 . . . . . . 7  |-  ( 0  e/ Odd  ->  ( 0  e. Odd 
->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )
2117, 20ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 0  e. Odd  ->  0  <_  (
( N  -  1 )  /  2 ) )
2216, 21syl6bi 231 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  e. Odd  ->  0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
2315, 22jaoi 380 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( N  e. Odd 
->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )
243, 23sylbi 198 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e. Odd  ->  0  <_  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )
2524imp 430 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e. Odd  )  ->  0  <_  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
26 elnn0z 10957 . 2  |-  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
272, 25, 26sylanbrc 668 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e. Odd  )  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    e/ wnel 2615   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867    / cdiv 10276   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   Odd codd 38624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-even 38625  df-odd 38626
This theorem is referenced by:  nn0onn0exALTV  38697
  Copyright terms: Public domain W3C validator