MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0nnaddcl Structured version   Unicode version

Theorem nn0nnaddcl 10901
Description: A nonnegative integer plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 22-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0nnaddcl  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nn0nnaddcl
StepHypRef Expression
1 nncn 10617 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2 nn0cn 10879 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
3 addcom 9818 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( N  +  M
)  =  ( M  +  N ) )
41, 2, 3syl2an 479 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  +  M
)  =  ( M  +  N ) )
5 nnnn0addcl 10900 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  +  M
)  e.  NN )
64, 5eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN )
76ancoms 454 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870  (class class class)co 6305   CCcc 9536    + caddc 9541   NNcn 10609   NN0cn0 10869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-ltxr 9679  df-nn 10610  df-n0 10870
This theorem is referenced by:  nn0p1nn  10909  nnaddm1cl  10993  numnncl  11059  faclbnd4lem1  12475  vdwlem3  14887  vdwlem5  14889  vdwlem6  14890  vdwlem9  14893  mod2xnegi  14997  tdeglem4  22877  basellem5  23865
  Copyright terms: Public domain W3C validator