MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0nlt0 Structured version   Unicode version

Theorem nn0nlt0 10718
Description: A nonnegative integer is not less than zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
nn0nlt0  |-  ( A  e.  NN0  ->  -.  A  <  0 )

Proof of Theorem nn0nlt0
StepHypRef Expression
1 nn0ge0 10717 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
2 0re 9498 . . 3  |-  0  e.  RR
3 nn0re 10700 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
4 lenlt 9565 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  -.  A  <  0 ) )
52, 3, 4sylancr 663 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( 0  <_  A  <->  -.  A  <  0 ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  -.  A  <  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1758   class class class wbr 4401   RRcr 9393   0cc0 9394    < clt 9530    <_ cle 9531   NN0cn0 10691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692
This theorem is referenced by:  nn0sub  10742  expneg  11991  nthruz  13653  efgsfo  16358  efgred  16367  deg1lt0  21696  lgsneg1  22793  sgnmulsgn  27077  sgnmulsgp  27078  wlkv0  30440  ztprmneprm  30888  fvmptnn04ifa  31337
  Copyright terms: Public domain W3C validator