MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0n0n1ge2b Structured version   Unicode version

Theorem nn0n0n1ge2b 10933
Description: A nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0n0n1ge2b  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  =/=  0  /\  N  =/=  1 )  <->  2  <_  N )
)

Proof of Theorem nn0n0n1ge2b
StepHypRef Expression
1 nn0n0n1ge2 10932 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  =/=  0  /\  N  =/=  1 )  ->  2  <_  N )
213expib 1208 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  =/=  0  /\  N  =/=  1 )  ->  2  <_  N
) )
3 ianor 490 . . . 4  |-  ( -.  ( N  =/=  0  /\  N  =/=  1
)  <->  ( -.  N  =/=  0  \/  -.  N  =/=  1 ) )
4 nne 2624 . . . . 5  |-  ( -.  N  =/=  0  <->  N  =  0 )
5 nne 2624 . . . . 5  |-  ( -.  N  =/=  1  <->  N  =  1 )
64, 5orbi12i 523 . . . 4  |-  ( ( -.  N  =/=  0  \/  -.  N  =/=  1
)  <->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) )
73, 6bitri 252 . . 3  |-  ( -.  ( N  =/=  0  /\  N  =/=  1
)  <->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) )
8 2pos 10701 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
9 breq1 4423 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  ( N  <  2  <->  0  <  2 ) )
108, 9mpbiri 236 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  N  <  2 )
1110a1d 26 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( N  e.  NN0  ->  N  <  2 ) )
12 1lt2 10776 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
13 breq1 4423 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  ( N  <  2  <->  1  <  2 ) )
1412, 13mpbiri 236 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  1  ->  N  <  2 )
1514a1d 26 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  ( N  e.  NN0  ->  N  <  2 ) )
1611, 15jaoi 380 . . . . . 6  |-  ( ( N  =  0  \/  N  =  1 )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  N  <  2
) )
1716impcom 431 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  =  0  \/  N  =  1
) )  ->  N  <  2 )
18 nn0re 10878 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
19 2re 10679 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2018, 19jctir 540 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR ) )
2120adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  =  0  \/  N  =  1
) )  ->  ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR ) )
22 ltnle 9713 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( N  <  2  <->  -.  2  <_  N )
)
2321, 22syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  =  0  \/  N  =  1
) )  ->  ( N  <  2  <->  -.  2  <_  N ) )
2417, 23mpbid 213 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  =  0  \/  N  =  1
) )  ->  -.  2  <_  N )
2524ex 435 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  =  0  \/  N  =  1 )  ->  -.  2  <_  N ) )
267, 25syl5bi 220 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -.  ( N  =/=  0  /\  N  =/=  1
)  ->  -.  2  <_  N ) )
272, 26impcon4bid 208 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  =/=  0  /\  N  =/=  1 )  <->  2  <_  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   class class class wbr 4420   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    < clt 9675    <_ cle 9676   2c2 10659   NN0cn0 10869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator