MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0mulcld Structured version   Unicode version

Theorem nn0mulcld 10900
Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
nn0addcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0mulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0mulcld
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0addcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
3 nn0mulcl 10875 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  x.  B
)  e.  NN0 )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1844  (class class class)co 6280    x. cmul 9529   NN0cn0 10838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-ltxr 9665  df-nn 10579  df-n0 10839
This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  12024  expmulz  12258  faclbnd4lem3  12419  mulgcd  14395  rpmulgcd2  14457  odzdvds  14533  prmreclem3  14647  vdwapf  14701  vdwlem5  14714  vdwlem6  14715  odmodnn0  16890  odmulg  16904  odadd  17182  ablfacrplem  17438  ablfacrp2  17440  dchrisumlem1  24057  eulerpartlemsv2  28816  eulerpartlemsf  28817  eulerpartlems  28818  eulerpartlemv  28822  eulerpartlemb  28826  erdsze2lem1  29513  erdsze2lem2  29514  pell1qrge1  35180  jm2.27c  35324  rmxdiophlem  35332  hashgcdlem  35534  m1expevenOLD  36966  stoweidlem1  37164  wallispilem4  37231  wallispilem5  37232  wallispi2lem2  37235  stirlinglem3  37239  stirlinglem5  37241  stirlinglem7  37243  stirlinglem10  37246  stirlinglem11  37247  etransclem32  37430  etransclem44  37442  etransclem46  37444  ply1mulgsumlem2  38511
  Copyright terms: Public domain W3C validator