MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0mulcl Structured version   Unicode version

Theorem nn0mulcl 10839
Description: Closure of multiplication of nonnegative integers. (Contributed by NM, 22-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0mulcl  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  x.  N
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0mulcl
StepHypRef Expression
1 nnsscn 10548 . 2  |-  NN  C_  CC
2 id 22 . . 3  |-  ( NN  C_  CC  ->  NN  C_  CC )
3 df-n0 10803 . . 3  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
4 nnmulcl 10566 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN )
54adantl 466 . . 3  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( M  x.  N
)  e.  NN )
62, 3, 5un0mulcl 10837 . 2  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  x.  N
)  e.  NN0 )
71, 6mpan 670 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  x.  N
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1804    C_ wss 3461  (class class class)co 6281   CCcc 9493    x. cmul 9500   NNcn 10543   NN0cn0 10802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636  df-nn 10544  df-n0 10803
This theorem is referenced by:  nn0mulcli  10841  nn0mulcld  10864  zmulcl  10919  nn0expcl  12162  expmul  12193  expmulnbnd  12280  iseraltlem2  13487  iseraltlem3  13488  fprodnn0cl  13746  crt  14290  iserodd  14341  vdwlem8  14488  nn0srg  18465  elqaalem2  22694  atantayl3  23248  leibpilem2  23250  leibpi  23251  leibpisum  23252  log2cnv  23253  log2tlbnd  23254  log2ublem2  23256  log2ub  23258  basellem3  23334  chtublem  23464  bcmax  23531  bcp1ctr  23532  bclbnd  23533  dchrisumlem1  23652  nn0risefaccl  29120  etransclem32  32003
  Copyright terms: Public domain W3C validator