Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0lt2 Structured version   Unicode version

Theorem nn0lt2 30310
Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0lt2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) )

Proof of Theorem nn0lt2
StepHypRef Expression
1 olc 384 . . 3  |-  ( N  =  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) )
21a1d 25 . 2  |-  ( N  =  1  ->  (
( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
3 nn0z 10756 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
4 2z 10765 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
5 zltlem1 10784 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  ( 2  -  1 ) ) )
63, 4, 5sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  ( 2  -  1 ) ) )
7 2m1e1 10523 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  1 )  =  1
87breq2i 4384 . . . . . 6  |-  ( N  <_  ( 2  -  1 )  <->  N  <_  1 )
96, 8syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  1 ) )
10 necom 2714 . . . . . 6  |-  ( N  =/=  1  <->  1  =/=  N )
11 nn0re 10675 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
12 1re 9472 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
13 ltlen 9563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( N  <  1  <->  ( N  <_  1  /\  1  =/=  N ) ) )
1411, 12, 13sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  <->  ( N  <_  1  /\  1  =/= 
N ) ) )
15 nn0lt10b 10793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  <->  N  = 
0 ) )
1615biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  1 )  ->  N  =  0 )
1716orcd 392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  1 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) )
1817ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
1914, 18sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  <_  1  /\  1  =/=  N )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
2019expd 436 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  1  ->  (
1  =/=  N  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) ) )
2110, 20syl7bi 230 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  1  ->  ( N  =/=  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) ) )
229, 21sylbid 215 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  ->  ( N  =/=  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) ) )
2322imp 429 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =/=  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
2423com12 31 . 2  |-  ( N  =/=  1  ->  (
( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
252, 24pm2.61ine 2758 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757    =/= wne 2641   class class class wbr 4376  (class class class)co 6176   RRcr 9368   0cc0 9369   1c1 9370    < clt 9505    <_ cle 9506    - cmin 9682   2c2 10458   NN0cn0 10666   ZZcz 10733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-n0 10667  df-z 10734
This theorem is referenced by:  clwwlkgt0  30558
  Copyright terms: Public domain W3C validator