MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0lt10b Structured version   Unicode version

Theorem nn0lt10b 10704
Description: A nonnegative integer less than  1 is  0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nn0lt10b  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  <->  N  = 
0 ) )

Proof of Theorem nn0lt10b
StepHypRef Expression
1 nn0re 10586 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2 0re 9384 . . . 4  |-  0  e.  RR
3 letri3 9458 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( N  =  0  <-> 
( N  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
42, 3mpan2 671 . . 3  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  =  0  <->  ( N  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  =  0  <->  ( N  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
6 nn0ge0 10603 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
76biantrud 507 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  0  <->  ( N  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
8 nn0z 10667 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
9 0z 10655 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
10 zleltp1 10693 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  0  <->  N  <  ( 0  +  1 ) ) )
119, 10mpan2 671 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  <_  0  <->  N  <  ( 0  +  1 ) ) )
12 0p1e1 10431 . . . . 5  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1312breq2i 4298 . . . 4  |-  ( N  <  ( 0  +  1 )  <->  N  <  1 )
1411, 13syl6bb 261 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  <_  0  <->  N  <  1 ) )
158, 14syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  0  <->  N  <  1 ) )
165, 7, 153bitr2rd 282 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  <->  N  = 
0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4290  (class class class)co 6089   RRcr 9279   0cc0 9280   1c1 9281    + caddc 9283    < clt 9416    <_ cle 9417   NN0cn0 10577   ZZcz 10644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645
This theorem is referenced by:  fz1n  11466  zdis  20391  plyrem  21769  efif1olem4  21999  nn0lt2  30183  nn0le2is012  30763
  Copyright terms: Public domain W3C validator