MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0le2msqi Structured version   Unicode version

Theorem nn0le2msqi 12326
Description: The square function on nonnegative integers is monotonic. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0le2msqi.1  |-  A  e. 
NN0
nn0le2msqi.2  |-  B  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
nn0le2msqi  |-  ( A  <_  B  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  B )
)

Proof of Theorem nn0le2msqi
StepHypRef Expression
1 nn0le2msqi.1 . . . 4  |-  A  e. 
NN0
21nn0ge0i 10829 . . 3  |-  0  <_  A
3 nn0le2msqi.2 . . . 4  |-  B  e. 
NN0
43nn0ge0i 10829 . . 3  |-  0  <_  B
51nn0rei 10812 . . . 4  |-  A  e.  RR
63nn0rei 10812 . . . 4  |-  B  e.  RR
75, 6le2sqi 12236 . . 3  |-  ( ( 0  <_  A  /\  0  <_  B )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A ^ 2 )  <_  ( B ^
2 ) ) )
82, 4, 7mp2an 672 . 2  |-  ( A  <_  B  <->  ( A ^ 2 )  <_ 
( B ^ 2 ) )
91nn0cni 10813 . . . 4  |-  A  e.  CC
109sqvali 12226 . . 3  |-  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
)
113nn0cni 10813 . . . 4  |-  B  e.  CC
1211sqvali 12226 . . 3  |-  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B
)
1310, 12breq12i 4446 . 2  |-  ( ( A ^ 2 )  <_  ( B ^
2 )  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  B )
)
148, 13bitri 249 1  |-  ( A  <_  B  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   0cc0 9495    x. cmul 9500    <_ cle 9632   2c2 10591   NN0cn0 10801   ^cexp 12145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-seq 12087  df-exp 12146
This theorem is referenced by:  nn0opthlem1  12327
  Copyright terms: Public domain W3C validator