Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0le2is012 Structured version   Unicode version

Theorem nn0le2is012 33156
Description: A nonnegative integer which is less than or equal to 2 is either 0 or 1 or 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0le2is012  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <_  2 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) )

Proof of Theorem nn0le2is012
StepHypRef Expression
1 nn0re 10721 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2 2re 10522 . . . . 5  |-  2  e.  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
41, 3leloed 9639 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  2  <->  ( N  <  2  \/  N  =  2 ) ) )
5 nn0z 10804 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
6 2z 10813 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
7 zltlem1 10833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  ( 2  -  1 ) ) )
85, 6, 7sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  ( 2  -  1 ) ) )
9 2m1e1 10567 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  1 )  =  1
109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  -  1 )  =  1 )
1110breq2d 4379 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( 2  -  1 )  <->  N  <_  1 ) )
128, 11bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  1 ) )
13 1red 9522 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
141, 13leloed 9639 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  1  <->  ( N  <  1  \/  N  =  1 ) ) )
15 nn0lt10b 10842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  <->  N  = 
0 ) )
16 3mix1 1163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  0  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) )
1715, 16syl6bi 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) ) )
1817com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  <  1  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) ) )
19 3mix2 1164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) )
2019a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) ) )
2118, 20jaoi 377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  <  1  \/  N  =  1 )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) ) )
2221com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  <  1  \/  N  =  1 )  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) ) )
2314, 22sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) ) )
2412, 23sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) ) )
2524com12 31 . . . . 5  |-  ( N  <  2  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) ) )
26 3mix3 1165 . . . . . 6  |-  ( N  =  2  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) )
2726a1d 25 . . . . 5  |-  ( N  =  2  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) ) )
2825, 27jaoi 377 . . . 4  |-  ( ( N  <  2  \/  N  =  2 )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) ) )
2928com12 31 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  <  2  \/  N  =  2 )  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) ) )
304, 29sylbid 215 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  2  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) ) )
3130imp 427 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <_  2 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    \/ w3o 970    = wceq 1399    e. wcel 1826   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   2c2 10502   NN0cn0 10712   ZZcz 10781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782
This theorem is referenced by:  exple2lt6  33157
  Copyright terms: Public domain W3C validator