Theorem nn0ind 10734

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by NM, 13-May-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0ind.1	|- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
nn0ind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
nn0ind.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
nn0ind.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
nn0ind.5	|- ps
nn0ind.6	|- ( y e. NN0 -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
nn0ind	|- ( A e. NN0 -> ta )

Distinct variable groups:   x, y   x, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)

Proof of Theorem nn0ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0z 10655	. 2 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) )
2		0z 10653	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		nn0ind.1	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
4		nn0ind.2	. . . 4 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
5		nn0ind.3	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
6		nn0ind.4	. . . 4 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
7		nn0ind.5	. . . . 5 |- ps
8	7	a1i 11	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> ps )
9		elnn0z 10655	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 <-> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) )
10		nn0ind.6	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( ch -> th ) )
11	9, 10	sylbir 213	. . . . 5 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) -> ( ch -> th ) )
12	11	3adant1 1001	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ y e. ZZ /\ 0 <_ y ) -> ( ch -> th ) )
13	3, 4, 5, 6, 8, 12	uzind 10729	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ta )
14	2, 13	mp3an1 1296	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ta )
15	1, 14	sylbi 195	1 |- ( A e. NN0 -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   <_ cle 9415   NN0cn0 10575   ZZcz 10642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643

This theorem is referenced by:  nn0indALT  10735  zindd  10739  fzennn  11786  mulexp  11899  expadd  11902  expmul  11905  leexp1a  11918  bernneq  11986  modexp  11995  faccl  12057  facdiv  12059  facwordi  12061  faclbnd  12062  faclbnd6  12071  facubnd  12072  bccl  12094  wrdind  12367  wrd2ind  12368  cshweqrep  12451  cjexp  12635  absexp  12789  iseraltlem2  13156  binom  13289  bcxmas  13294  climcndslem1  13308  demoivreALT  13481  ruclem8  13515  odd2np1lem  13587  bitsinv1  13634  sadcadd  13650  sadadd2  13652  saddisjlem  13656  smu01lem  13677  smumullem  13684  alginv  13746  prmfac1  13800  pcfac  13957  ramcl  14086  mhmmulg  15652  psgnunilem3  15995  sylow1lem1  16090  efgsrel  16224  efgsfo  16229  efgred  16238  srgmulgass  16620  srgpcomp  16621  srgbinom  16633  mplcoe3  17535  mplcoe3OLD  17536  cnfldexp  17749  tmdmulg  19563  expcn  20348  dvnadd  21303  dvnres  21305  dvnfre  21326  ply1divex  21551  fta1g  21582  plyco  21652  dgrco  21685  dvnply2  21696  plydivex  21706  fta1  21717  cxpmul2  22077  dchrisumlem1  22681  qabvle  22817  qabvexp  22818  ostth2lem2  22826  eupath2  23520  gxnn0add  23680  gxnn0mul  23683  nn0indd  26005  facgam  26966  subfacval2  26989  cvmliftlem7  27094  relexpsucl  27247  relexpcnv  27248  relexpdm  27250  relexprn  27251  relexpadd  27253  relexpindlem  27254  rtrclreclem.min  27262  binomfallfac  27457  faclim  27465  faclim2  27467  heiborlem4  28622  mzpexpmpt  28990  pell14qrexpclnn0  29116  rmxypos  29199  jm2.17a  29212  jm2.17b  29213  rmygeid  29216  jm2.19lem3  29249  hbtlem5  29393  cnsrexpcl  29431  m1expeven  29681  stoweidlem17  29721  stoweidlem19  29723  wallispilem3  29771  rusgranumwlk  30484  lmodvsmdi  30696  lmodvsmmulgdi  30697  assamulgscm  30706