MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ind Structured version   Unicode version

Theorem nn0ind 10738
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 13-May-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0ind.1  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
nn0ind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
nn0ind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
nn0ind.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
nn0ind.5  |-  ps
nn0ind.6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ch 
->  th ) )
Assertion
Ref Expression
nn0ind  |-  ( A  e.  NN0  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem nn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 10659 . 2  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
2 0z 10657 . . 3  |-  0  e.  ZZ
3 nn0ind.1 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4 nn0ind.2 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5 nn0ind.3 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
6 nn0ind.4 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
7 nn0ind.5 . . . . 5  |-  ps
87a1i 11 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ps )
9 elnn0z 10659 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y ) )
10 nn0ind.6 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ch 
->  th ) )
119, 10sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  -> 
( ch  ->  th )
)
12113adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  ->  ( ch  ->  th ) )
133, 4, 5, 6, 8, 12uzind 10733 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ta )
142, 13mp3an1 1301 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ta )
151, 14sylbi 195 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    <_ cle 9419   NN0cn0 10579   ZZcz 10646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647
This theorem is referenced by:  nn0indALT  10739  zindd  10743  fzennn  11790  mulexp  11903  expadd  11906  expmul  11909  leexp1a  11922  bernneq  11990  modexp  11999  faccl  12061  facdiv  12063  facwordi  12065  faclbnd  12066  faclbnd6  12075  facubnd  12076  bccl  12098  wrdind  12371  wrd2ind  12372  cshweqrep  12455  cjexp  12639  absexp  12793  iseraltlem2  13160  binom  13293  bcxmas  13298  climcndslem1  13312  demoivreALT  13485  ruclem8  13519  odd2np1lem  13591  bitsinv1  13638  sadcadd  13654  sadadd2  13656  saddisjlem  13660  smu01lem  13681  smumullem  13688  alginv  13750  prmfac1  13804  pcfac  13961  ramcl  14090  mhmmulg  15659  psgnunilem3  16002  sylow1lem1  16097  efgsrel  16231  efgsfo  16236  efgred  16245  srgmulgass  16630  srgpcomp  16631  srgbinom  16643  mplcoe3  17545  mplcoe3OLD  17546  cnfldexp  17849  tmdmulg  19663  expcn  20448  dvnadd  21403  dvnres  21405  dvnfre  21426  ply1divex  21608  fta1g  21639  plyco  21709  dgrco  21742  dvnply2  21753  plydivex  21763  fta1  21774  cxpmul2  22134  dchrisumlem1  22738  qabvle  22874  qabvexp  22875  ostth2lem2  22883  eupath2  23601  gxnn0add  23761  gxnn0mul  23764  nn0indd  26088  facgam  27052  subfacval2  27075  cvmliftlem7  27180  relexpsucl  27334  relexpcnv  27335  relexpdm  27337  relexprn  27338  relexpadd  27340  relexpindlem  27341  rtrclreclem.min  27349  binomfallfac  27544  faclim  27552  faclim2  27554  heiborlem4  28713  mzpexpmpt  29081  pell14qrexpclnn0  29207  rmxypos  29290  jm2.17a  29303  jm2.17b  29304  rmygeid  29307  jm2.19lem3  29340  hbtlem5  29484  cnsrexpcl  29522  m1expeven  29772  stoweidlem17  29812  stoweidlem19  29814  wallispilem3  29862  rusgranumwlk  30575  telescfzgsum  30810  lmodvsmdi  30812  lmodvsmmulgdi  30813  assamulgscm  30822
  Copyright terms: Public domain W3C validator