MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ind Structured version   Unicode version

Theorem nn0ind 10960
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 13-May-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0ind.1  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
nn0ind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
nn0ind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
nn0ind.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
nn0ind.5  |-  ps
nn0ind.6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ch 
->  th ) )
Assertion
Ref Expression
nn0ind  |-  ( A  e.  NN0  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem nn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 10878 . 2  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
2 0z 10876 . . 3  |-  0  e.  ZZ
3 nn0ind.1 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4 nn0ind.2 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5 nn0ind.3 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
6 nn0ind.4 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
7 nn0ind.5 . . . . 5  |-  ps
87a1i 11 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ps )
9 elnn0z 10878 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y ) )
10 nn0ind.6 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ch 
->  th ) )
119, 10sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  -> 
( ch  ->  th )
)
12113adant1 1013 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  ->  ( ch  ->  th ) )
133, 4, 5, 6, 8, 12uzind 10955 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ta )
142, 13mp3an1 1310 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ta )
151, 14sylbi 195 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    <_ cle 9627   NN0cn0 10796   ZZcz 10865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866
This theorem is referenced by:  nn0indALT  10961  zindd  10965  fzennn  12052  mulexp  12179  expadd  12182  expmul  12185  leexp1a  12198  bernneq  12266  modexp  12275  faccl  12337  facdiv  12339  facwordi  12341  faclbnd  12342  faclbnd6  12351  facubnd  12352  bccl  12374  wrdind  12676  wrd2ind  12677  cshweqrep  12763  cjexp  12957  absexp  13111  iseraltlem2  13479  binom  13616  bcxmas  13621  climcndslem1  13635  demoivreALT  13808  ruclem8  13842  odd2np1lem  13917  bitsinv1  13964  sadcadd  13980  sadadd2  13982  saddisjlem  13986  smu01lem  14007  smumullem  14014  alginv  14076  prmfac1  14131  pcfac  14290  ramcl  14419  mhmmulg  16043  psgnunilem3  16390  sylow1lem1  16487  efgsrel  16621  efgsfo  16626  efgred  16635  srgmulgass  17050  srgpcomp  17051  srgbinom  17064  lmodvsmmulgdi  17415  assamulgscm  17867  mplcoe3  17996  mplcoe3OLD  17997  cnfldexp  18319  tmdmulg  20457  expcn  21242  dvnadd  22198  dvnres  22200  dvnfre  22221  ply1divex  22403  fta1g  22434  plyco  22504  dgrco  22537  dvnply2  22548  plydivex  22558  fta1  22569  cxpmul2  22935  dchrisumlem1  23539  qabvle  23675  qabvexp  23676  ostth2lem2  23684  rusgranumwlk  24822  eupath2  24845  ex-ind-dvds  25035  gxnn0add  25141  gxnn0mul  25144  nn0indd  27475  facgam  28474  subfacval2  28497  cvmliftlem7  28602  relexpsucl  28921  relexpcnv  28922  relexpdm  28924  relexprn  28925  relexpadd  28927  relexpindlem  28928  rtrclreclem.min  28936  binomfallfac  29131  faclim  29139  faclim2  29141  heiborlem4  30278  mzpexpmpt  30645  pell14qrexpclnn0  30770  rmxypos  30853  jm2.17a  30866  jm2.17b  30867  rmygeid  30870  jm2.19lem3  30901  hbtlem5  31045  cnsrexpcl  31083  fperiodmullem  31448  m1expeven  31509  stoweidlem17  31684  stoweidlem19  31686  wallispilem3  31734  lmodvsmdi  32685
  Copyright terms: Public domain W3C validator