MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge2m1nn Structured version   Unicode version

Theorem nn0ge2m1nn 10934
Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge2m1nn  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem nn0ge2m1nn
StepHypRef Expression
1 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  N  e.  NN0 )
2 1red 9657 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
3 2re 10679 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
5 nn0re 10878 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
62, 4, 53jca 1185 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
76adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
8 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
2  <_  N )
9 1lt2 10776 . . . . . 6  |-  1  <  2
108, 9jctil 539 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( 1  <  2  /\  2  <_  N ) )
11 ltleletr 9725 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  N )  ->  1  <_  N
) )
127, 10, 11sylc 62 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
1  <_  N )
13 elnnnn0c 10915 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
141, 12, 13sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  N  e.  NN )
15 nn1m1nn 10629 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  ( N  -  1
)  e.  NN ) )
1614, 15syl 17 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  =  1  \/  ( N  - 
1 )  e.  NN ) )
17 breq2 4430 . . . . 5  |-  ( N  =  1  ->  (
2  <_  N  <->  2  <_  1 ) )
18 1re 9641 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1918, 3ltnlei 9754 . . . . . . 7  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
20 pm2.21 111 . . . . . . 7  |-  ( -.  2  <_  1  ->  ( 2  <_  1  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
2119, 20sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( 1  <  2  ->  (
2  <_  1  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
229, 21ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 2  <_  1  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
2317, 22syl6bi 231 . . . 4  |-  ( N  =  1  ->  (
2  <_  N  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
2423adantld 468 . . 3  |-  ( N  =  1  ->  (
( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
25 ax-1 6 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  (
( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
2624, 25jaoi 380 . 2  |-  ( ( N  =  1  \/  ( N  -  1 )  e.  NN )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
2716, 26mpcom 37 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   RRcr 9537   1c1 9539    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  10935  wwlkm1edg  25308  clwlkisclwwlklem2fv2  25356  logbpw2m1  39138  blenpw2m1  39150  nnolog2flm1  39161
  Copyright terms: Public domain W3C validator