MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge2m1nn Structured version   Unicode version

Theorem nn0ge2m1nn 10871
Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge2m1nn  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem nn0ge2m1nn
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  N  e.  NN0 )
2 1red 9621 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
3 2re 10615 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
5 nn0re 10814 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
62, 4, 53jca 1176 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
8 1lt2 10712 . . . . . . 7  |-  1  <  2
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
1  <  2 )
10 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
2  <_  N )
119, 10jca 532 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( 1  <  2  /\  2  <_  N ) )
12 ltleletr 9687 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  N )  ->  1  <_  N
) )
137, 11, 12sylc 60 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
1  <_  N )
14 elnnnn0c 10851 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
151, 13, 14sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  N  e.  NN )
16 nn1m1nn 10566 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  ( N  -  1
)  e.  NN ) )
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  =  1  \/  ( N  - 
1 )  e.  NN ) )
18 breq2 4456 . . . . 5  |-  ( N  =  1  ->  (
2  <_  N  <->  2  <_  1 ) )
19 1re 9605 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2019, 3ltnlei 9715 . . . . . . 7  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
21 pm2.21 108 . . . . . . 7  |-  ( -.  2  <_  1  ->  ( 2  <_  1  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
2220, 21sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( 1  <  2  ->  (
2  <_  1  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
238, 22ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 2  <_  1  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
2418, 23syl6bi 228 . . . 4  |-  ( N  =  1  ->  (
2  <_  N  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
2524adantld 467 . . 3  |-  ( N  =  1  ->  (
( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
26 ax-1 6 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  (
( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
2725, 26jaoi 379 . 2  |-  ( ( N  =  1  \/  ( N  -  1 )  e.  NN )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
2817, 27mpcom 36 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4452  (class class class)co 6294   RRcr 9501   1c1 9503    < clt 9638    <_ cle 9639    - cmin 9815   NNcn 10546   2c2 10595   NN0cn0 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  10872  wwlkm1edg  24526
  Copyright terms: Public domain W3C validator