MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0d Structured version   Unicode version

Theorem nn0ge0d 10635
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0ge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem nn0ge0d
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0ge0 10601 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   0cc0 9278    <_ cle 9415   NN0cn0 10575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576
This theorem is referenced by:  flmulnn0  11668  zmodfz  11725  modaddmodlo  11759  expmulnbnd  11992  facwordi  12061  faclbnd  12062  faclbnd4lem3  12067  faclbnd6  12071  facavg  12073  hashdom  12138  repswcshw  12442  climcnds  13310  geomulcvg  13332  mertenslem1  13340  eftabs  13357  efcllem  13359  efaddlem  13374  eftlub  13389  oexpneg  13591  divalg2  13605  bitsfzolem  13626  bitsmod  13628  sadcaddlem  13649  sadaddlem  13658  sadasslem  13662  sadeq  13664  smueqlem  13682  gcdmultiple  13730  gcdmultiplez  13731  dvdssqlem  13739  nn0seqcvgd  13741  mulgcddvds  13786  isprm5  13794  zsqrelqelz  13832  phibndlem  13841  dfphi2  13845  pythagtriplem3  13881  pythagtriplem10  13883  pythagtriplem6  13884  pythagtriplem7  13885  pythagtriplem12  13889  pythagtriplem14  13891  iserodd  13898  pcge0  13924  pcprmpw2  13944  pcmptdvds  13952  fldivp1  13955  pcbc  13958  qexpz  13959  pockthlem  13962  pockthg  13963  prmreclem3  13975  mul4sqlem  14010  4sqlem12  14013  4sqlem14  14015  4sqlem16  14017  0ram  14077  ram0  14079  ramcl  14086  2expltfac  14115  odmodnn0  16036  pgpfi  16097  ablfac1c  16562  psrbaglesupp  17413  psrbaglesuppOLD  17414  psrbagcon  17418  psrlidm  17452  psrlidmOLD  17453  coe1tmmul2  17704  prmirred  17878  prmirredOLD  17881  lebnumii  20497  mbfi1fseqlem1  21152  mbfi1fseqlem3  21154  mbfi1fseqlem4  21155  mbfi1fseqlem5  21156  itg2cnlem2  21199  fta1g  21598  coemulhi  21680  dgradd2  21694  dgrco  21701  aareccl  21751  aaliou3lem8  21770  radcnvlem1  21837  dvradcnv  21845  leibpilem1  22294  wilthlem1  22365  sgmmul  22499  chtublem  22509  fsumvma2  22512  chpchtsum  22517  perfectlem2  22528  bcmono  22575  bposlem5  22586  lgsval2lem  22604  lgsval4a  22616  lgsqrlem2  22640  lgseisenlem1  22647  lgseisenlem2  22648  lgsquadlem1  22652  2sqlem3  22664  2sqlem7  22668  2sqlem8  22670  2sqblem  22675  dchrisum0re  22721  pntrlog2bndlem4  22788  pntpbnd1a  22793  ostth2lem2  22842  ostth2lem3  22843  ostth2  22845  nndiffz1  26008  nexple  26384  oddpwdc  26667  eulerpartlems  26673  eulerpartlemgc  26675  dmlogdmgm  26940  subfaclim  27006  cvmliftlem2  27105  cvmliftlem10  27113  snmlff  27148  itg2addnclem2  28369  rrnequiv  28659  irrapxlem2  29089  irrapxlem5  29092  pellexlem1  29095  pellexlem2  29096  pellexlem5  29099  pellexlem6  29100  pell14qrgt0  29125  pell1qrge1  29136  pellfundgt1  29149  rmspecnonsq  29173  rmspecfund  29175  rmspecpos  29182  rmxypos  29215  ltrmxnn0  29217  jm2.24  29231  acongeq  29251  jm2.22  29269  jm2.23  29270  jm2.27a  29279  jm2.27c  29281  stoweidlem24  29744  wallispilem3  29787  wallispilem4  29788  wallispilem5  29789  wallispi2lem1  29791  stirlinglem4  29797  stirlinglem5  29798  stirlinglem10  29803  stirlinglem15  29808  stirlingr  29810  wwlksubclwwlk  30391
  Copyright terms: Public domain W3C validator