MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0d Structured version   Unicode version

Theorem nn0ge0d 10854
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0ge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem nn0ge0d
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0ge0 10820 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   0cc0 9491    <_ cle 9628   NN0cn0 10794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795
This theorem is referenced by:  flmulnn0  11927  zmodfz  11984  modaddmodlo  12018  expmulnbnd  12265  facwordi  12334  faclbnd  12335  faclbnd4lem3  12340  faclbnd6  12344  facavg  12346  hashdom  12414  repswcshw  12742  climcnds  13625  geomulcvg  13647  mertenslem1  13655  eftabs  13672  efcllem  13674  efaddlem  13689  eftlub  13704  oexpneg  13907  divalg2  13921  bitsfzolem  13942  bitsmod  13944  sadcaddlem  13965  sadaddlem  13974  sadasslem  13978  sadeq  13980  smueqlem  13998  gcdmultiple  14046  gcdmultiplez  14047  dvdssqlem  14055  nn0seqcvgd  14057  mulgcddvds  14103  isprm5  14111  zsqrtelqelz  14149  phibndlem  14158  dfphi2  14162  pythagtriplem3  14200  pythagtriplem10  14202  pythagtriplem6  14203  pythagtriplem7  14204  pythagtriplem12  14208  pythagtriplem14  14210  iserodd  14217  pcge0  14243  pcprmpw2  14263  pcmptdvds  14271  fldivp1  14274  pcbc  14277  qexpz  14278  pockthlem  14281  pockthg  14282  prmreclem3  14294  mul4sqlem  14329  4sqlem12  14332  4sqlem14  14334  4sqlem16  14336  0ram  14396  ram0  14398  ramcl  14405  2expltfac  14434  odmodnn0  16367  pgpfi  16428  ablfac1c  16921  psrbaglesupp  17804  psrbaglesuppOLD  17805  psrbagcon  17809  psrlidm  17843  psrlidmOLD  17844  coe1tmmul2  18104  prmirred  18308  prmirredOLD  18311  lebnumii  21217  mbfi1fseqlem1  21873  mbfi1fseqlem3  21875  mbfi1fseqlem4  21876  mbfi1fseqlem5  21877  itg2cnlem2  21920  fta1g  22319  coemulhi  22401  dgradd2  22415  dgrco  22422  aareccl  22472  aaliou3lem8  22491  radcnvlem1  22558  dvradcnv  22566  leibpilem1  23015  wilthlem1  23086  sgmmul  23220  chtublem  23230  fsumvma2  23233  chpchtsum  23238  perfectlem2  23249  bcmono  23296  bposlem5  23307  lgsval2lem  23325  lgsval4a  23337  lgsqrlem2  23361  lgseisenlem1  23368  lgseisenlem2  23369  lgsquadlem1  23373  2sqlem3  23385  2sqlem7  23389  2sqlem8  23391  2sqblem  23396  dchrisum0re  23442  pntrlog2bndlem4  23509  pntpbnd1a  23514  ostth2lem2  23563  ostth2lem3  23564  ostth2  23566  wwlksubclwwlk  24496  nndiffz1  27280  nexple  27661  oddpwdc  27949  eulerpartlems  27955  eulerpartlemgc  27957  eulerpartlemb  27963  dmlogdmgm  28222  subfaclim  28288  cvmliftlem2  28387  cvmliftlem10  28395  snmlff  28430  itg2addnclem2  29660  rrnequiv  29950  irrapxlem2  30379  irrapxlem5  30382  pellexlem1  30385  pellexlem2  30386  pellexlem5  30389  pellexlem6  30390  pell14qrgt0  30415  pell1qrge1  30426  pellfundgt1  30439  rmspecnonsq  30463  rmspecfund  30465  rmspecpos  30472  rmxypos  30505  ltrmxnn0  30507  jm2.24  30521  acongeq  30541  jm2.22  30557  jm2.23  30558  jm2.27a  30567  jm2.27c  30569  nzprmdif  30840  hashssle  31090  stoweidlem24  31340  wallispilem3  31383  wallispilem4  31384  wallispilem5  31385  wallispi2lem1  31387  stirlinglem4  31393  stirlinglem5  31394  stirlinglem10  31399  stirlinglem15  31404  stirlingr  31406  fourierdlem48  31471  fourierdlem49  31472  sqwvfoura  31545
  Copyright terms: Public domain W3C validator