MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0d Unicode version

Theorem nn0ge0d 10233
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0ge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem nn0ge0d
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0ge0 10203 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   0cc0 8946    <_ cle 9077   NN0cn0 10177
This theorem is referenced by:  flmulnn0  11184  zmodfz  11223  expmulnbnd  11466  facwordi  11535  faclbnd  11536  faclbnd4lem3  11541  faclbnd6  11545  facavg  11547  hashdom  11608  climcnds  12586  geomulcvg  12608  mertenslem1  12616  eftabs  12633  efcllem  12635  efaddlem  12650  eftlub  12665  oexpneg  12866  divalg2  12880  bitsfzolem  12901  bitsmod  12903  sadcaddlem  12924  sadaddlem  12933  sadasslem  12937  sadeq  12939  smueqlem  12957  gcdmultiple  13005  gcdmultiplez  13006  dvdssqlem  13014  nn0seqcvgd  13016  mulgcddvds  13059  isprm5  13067  zsqrelqelz  13105  phibndlem  13114  dfphi2  13118  pythagtriplem3  13147  pythagtriplem10  13149  pythagtriplem6  13150  pythagtriplem7  13151  pythagtriplem12  13155  pythagtriplem14  13157  iserodd  13164  pcge0  13190  pcprmpw2  13210  pcmptdvds  13218  fldivp1  13221  pcbc  13224  qexpz  13225  pockthlem  13228  pockthg  13229  prmreclem3  13241  mul4sqlem  13276  4sqlem12  13279  4sqlem14  13281  4sqlem16  13283  0ram  13343  ram0  13345  ramcl  13352  2expltfac  13381  odmodnn0  15133  pgpfi  15194  ablfac1c  15584  psrbaglesupp  16388  psrbagcon  16391  psrlidm  16422  coe1tmmul2  16623  prmirred  16730  lebnumii  18944  mbfi1fseqlem1  19560  mbfi1fseqlem3  19562  mbfi1fseqlem4  19563  mbfi1fseqlem5  19564  itg2cnlem2  19607  fta1g  20043  coemulhi  20125  dgradd2  20139  dgrco  20146  aareccl  20196  aaliou3lem8  20215  radcnvlem1  20282  dvradcnv  20290  leibpilem1  20733  wilthlem1  20804  sgmmul  20938  chtublem  20948  fsumvma2  20951  chpchtsum  20956  perfectlem2  20967  bcmono  21014  bposlem5  21025  lgsval2lem  21043  lgsval4a  21055  lgsqrlem2  21079  lgseisenlem1  21086  lgseisenlem2  21087  lgsquadlem1  21091  2sqlem3  21103  2sqlem7  21107  2sqlem8  21109  2sqblem  21114  dchrisum0re  21160  pntrlog2bndlem4  21227  pntpbnd1a  21232  ostth2lem2  21281  ostth2lem3  21282  ostth2  21284  dmlogdmgm  24761  subfaclim  24827  cvmliftlem2  24926  cvmliftlem10  24934  snmlff  24969  itg2addnclem2  26156  rrnequiv  26434  irrapxlem2  26776  irrapxlem5  26779  pellexlem1  26782  pellexlem2  26783  pellexlem5  26786  pellexlem6  26787  pell14qrgt0  26812  pell1qrge1  26823  pellfundgt1  26836  rmspecnonsq  26860  rmspecfund  26862  rmspecpos  26869  rmxypos  26902  ltrmxnn0  26904  jm2.24  26918  acongeq  26938  jm2.22  26956  jm2.23  26957  jm2.27a  26966  jm2.27c  26968  stoweidlem24  27640  wallispilem3  27683  wallispilem4  27684  wallispilem5  27685  wallispi2lem1  27687  stirlinglem4  27693  stirlinglem5  27694  stirlinglem10  27699  stirlinglem15  27704  stirlingr  27706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178
  Copyright terms: Public domain W3C validator