MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0d Structured version   Unicode version

Theorem nn0ge0d 10772
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0ge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem nn0ge0d
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0ge0 10738 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1826   class class class wbr 4367   0cc0 9403    <_ cle 9540   NN0cn0 10712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713
This theorem is referenced by:  flmulnn0  11860  zmodfz  11918  modaddmodlo  11954  expmulnbnd  12200  facwordi  12269  faclbnd  12270  faclbnd4lem3  12275  faclbnd6  12279  facavg  12281  hashdom  12350  repswcshw  12691  climcnds  13665  geomulcvg  13687  mertenslem1  13695  eftabs  13813  efcllem  13815  efaddlem  13830  eftlub  13846  oexpneg  14051  divalg2  14065  bitsfzolem  14086  bitsmod  14088  sadcaddlem  14109  sadaddlem  14118  sadasslem  14122  sadeq  14124  smueqlem  14142  gcdmultiple  14190  gcdmultiplez  14191  dvdssqlem  14199  nn0seqcvgd  14201  mulgcddvds  14247  isprm5  14255  zsqrtelqelz  14293  phibndlem  14302  dfphi2  14306  pythagtriplem3  14344  pythagtriplem10  14346  pythagtriplem6  14347  pythagtriplem7  14348  pythagtriplem12  14352  pythagtriplem14  14354  iserodd  14361  pcge0  14387  pcprmpw2  14407  pcmptdvds  14415  fldivp1  14418  pcbc  14421  qexpz  14422  pockthlem  14425  pockthg  14426  prmreclem3  14438  mul4sqlem  14473  4sqlem12  14476  4sqlem14  14478  4sqlem16  14480  0ram  14540  ram0  14542  ramcl  14549  2expltfac  14579  odmodnn0  16681  pgpfi  16742  ablfac1c  17235  psrbaglesupp  18130  psrbaglesuppOLD  18131  psrbagcon  18135  psrlidm  18169  psrlidmOLD  18170  coe1tmmul2  18430  prmirred  18625  lebnumii  21551  mbfi1fseqlem1  22207  mbfi1fseqlem3  22209  mbfi1fseqlem4  22210  mbfi1fseqlem5  22211  itg2cnlem2  22254  fta1g  22653  coemulhi  22736  dgradd2  22750  dgrco  22757  aareccl  22807  aaliou3lem8  22826  radcnvlem1  22893  dvradcnv  22901  leibpilem1  23387  wilthlem1  23459  sgmmul  23593  chtublem  23603  fsumvma2  23606  chpchtsum  23611  perfectlem2  23622  bcmono  23669  bposlem5  23680  lgsval2lem  23698  lgsval4a  23710  lgsqrlem2  23734  lgseisenlem1  23741  lgseisenlem2  23742  lgsquadlem1  23746  2sqlem3  23758  2sqlem7  23762  2sqlem8  23764  2sqblem  23769  dchrisum0re  23815  pntrlog2bndlem4  23882  pntpbnd1a  23887  ostth2lem2  23936  ostth2lem3  23937  ostth2  23939  wwlksubclwwlk  24925  nndiffz1  27749  2sqmod  27789  nexple  28158  oddpwdc  28476  eulerpartlems  28482  eulerpartlemgc  28484  eulerpartlemb  28490  dmlogdmgm  28755  subfaclim  28821  cvmliftlem2  28920  cvmliftlem10  28928  snmlff  28963  itg2addnclem2  30233  rrnequiv  30497  irrapxlem2  30924  irrapxlem5  30927  pellexlem1  30930  pellexlem2  30931  pellexlem5  30934  pellexlem6  30935  pell14qrgt0  30960  pell1qrge1  30971  pellfundgt1  30984  rmspecnonsq  31008  rmspecfund  31010  rmspecpos  31017  rmxypos  31050  ltrmxnn0  31052  jm2.24  31066  acongeq  31086  jm2.22  31103  jm2.23  31104  jm2.27a  31113  jm2.27c  31115  nzprmdif  31392  bccbc  31418  binomcxplemnn0  31422  fsumnncl  31738  mccllem  31771  ioodvbdlimc1lem2  31895  ioodvbdlimc2lem  31897  dvnxpaek  31905  dvnmul  31906  dvnprodlem1  31909  stoweidlem24  31972  wallispilem4  32016  wallispilem5  32017  wallispi2lem1  32019  stirlinglem4  32025  stirlinglem5  32026  stirlinglem10  32031  stirlinglem15  32036  stirlingr  32038  fourierdlem48  32103  fourierdlem49  32104  fourierdlem92  32147  sqwvfoura  32177  elaa2lem  32182  etransclem19  32202  etransclem23  32206  etransclem27  32210  etransclem44  32227  oexpnegALTV  32519  perfectALTVlem2  32544  blennn  33396  dignn0ldlem  33423  dig2nn1st  33426  digexp  33428  dignn0flhalf  33439
  Copyright terms: Public domain W3C validator