MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0 Structured version   Unicode version

Theorem nn0ge0 10846
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )

Proof of Theorem nn0ge0
StepHypRef Expression
1 elnn0 10822 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 nngt0 10589 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
3 id 22 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
43eqcomd 2434 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  0  =  N )
52, 4orim12i 518 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0  < 
N  \/  0  =  N ) )
61, 5sylbi 198 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )
7 0re 9594 . . 3  |-  0  e.  RR
8 nn0re 10829 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
9 leloe 9671 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
107, 8, 9sylancr 667 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
116, 10mpbird 235 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    = wceq 1437    e. wcel 1872   class class class wbr 4366   RRcr 9489   0cc0 9490    < clt 9626    <_ cle 9627   NNcn 10560   NN0cn0 10820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821
This theorem is referenced by:  nn0nlt0  10847  nn0ge0i  10848  nn0le0eq0  10849  nn0p1gt0  10850  0mnnnnn0  10853  nn0addge1  10867  nn0addge2  10868  nn0ge0d  10879  nn0lt10bOLD  10950  nn0ge0div  10956  nn0pnfge0  11385  nn0rp0  11690  0elfz  11840  elfz0addOLD  11843  fz0fzelfz0  11847  fz0fzdiffz0  11850  fzctr  11854  difelfzle  11855  elfzodifsumelfzo  11930  addmodid  12089  modifeq2int  12102  bernneq  12348  bernneq3  12350  faclbnd  12425  faclbnd6  12434  facubnd  12435  bcval5  12453  hashneq0  12495  fi1uzind  12598  brfi1indALT  12601  ccat2s1fvw  12717  repswswrd  12833  rprisefaccl  14019  bitsinv1  14359  smuval2  14399  gcdn0gt0  14429  nn0gcdid0  14432  absmulgcd  14458  algcvgblem  14479  algcvga  14481  lcmgcdnn  14519  lcmfun  14561  lcmfass  14562  nonsq  14651  odzdvds  14683  odzdvdsOLD  14689  pcfaclem  14786  coe1sclmul  18818  coe1sclmul2  18820  prmirredlem  19006  prmirred  19008  fvmptnn04ifb  19817  mdegle0  22968  plypf1  23108  dgrlt  23162  fta1  23203  taylfval  23256  eldmgm  23889  basellem3  23951  bcmono  24147  lgsdinn0  24210  dchrisumlem1  24269  dchrisumlem2  24270  wlkonwlk  25207  nvnencycllem  25313  wwlkextwrd  25398  wwlkextfun  25399  wwlkextinj  25400  wwlkextproplem1  25411  wwlkextproplem2  25412  wwlkextproplem3  25413  nn0sqeq1  28274  xrsmulgzz  28391  hashf2  28857  hasheuni  28858  faclimlem1  30330  rrntotbnd  32075  pell14qrgt0  35618  pell1qrgaplem  35632  monotoddzzfi  35703  jm2.17a  35723  jm2.22  35763  rmxdiophlem  35783  hashgcdlem  35987  wallispilem3  37812  stirlinglem7  37825  iccpartigtl  38550  nn0e  38639  elfz2z  38853  fz0addge0  38857  elfzlble  38858  2ffzoeq  38862  nn0sumltlt  39734  nn0eo  39938  fllog2  39982  dignn0fr  40015  dignnld  40017  dig1  40022
  Copyright terms: Public domain W3C validator