MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0 Structured version   Unicode version

Theorem nn0ge0 10810
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )

Proof of Theorem nn0ge0
StepHypRef Expression
1 elnn0 10786 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 nngt0 10554 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
3 id 22 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
43eqcomd 2468 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  0  =  N )
52, 4orim12i 516 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0  < 
N  \/  0  =  N ) )
61, 5sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )
7 0re 9585 . . 3  |-  0  e.  RR
8 nn0re 10793 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
9 leloe 9660 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
107, 8, 9sylancr 663 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
116, 10mpbird 232 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   RRcr 9480   0cc0 9481    < clt 9617    <_ cle 9618   NNcn 10525   NN0cn0 10784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785
This theorem is referenced by:  nn0nlt0  10811  nn0ge0i  10812  nn0le0eq0  10813  nn0p1gt0  10814  0mnnnnn0  10817  nn0addge1  10831  nn0addge2  10832  nn0ge0d  10844  nn0lt10b  10913  nn0ge0div  10919  nn0pnfge0  11330  0elfz  11761  elfz0add  11763  fz0fzelfz0  11767  fz0fzdiffz0  11770  fzctr  11773  difelfzle  11774  elfzodifsumelfzo  11839  injresinjlem  11882  addmodid  11992  modifeq2int  12005  bernneq  12247  bernneq3  12249  faclbnd  12323  faclbnd6  12332  facubnd  12333  bcval5  12351  hashneq0  12389  brfi1uzind  12485  ccatws1n0  12586  ccat2s1fvw  12592  repswswrd  12706  bitsinv1  13940  smuval2  13980  gcdn0gt0  14008  nn0gcdid0  14011  absmulgcd  14033  algcvgblem  14054  algcvga  14056  nonsq  14140  odzdvds  14170  pcfaclem  14265  coe1sclmul  18087  coe1sclmul2  18089  prmirredlem  18283  prmirred  18285  prmirredlemOLD  18286  prmirredOLD  18288  fvmptnn04ifb  19112  mdegle0  22205  plypf1  22337  dgrlt  22390  fta1  22431  taylfval  22481  basellem3  23077  bcmono  23273  lgsdinn0  23336  dchrisumlem1  23395  dchrisumlem2  23396  wlkonwlk  24199  cyclnspth  24293  cyclispthon  24295  nvnencycllem  24305  wwlkextwrd  24390  wwlkextfun  24391  wwlkextinj  24392  wwlkextproplem1  24403  wwlkextproplem2  24404  wwlkextproplem3  24405  rusgranumwlks  24618  xrsmulgzz  27314  hashf2  27716  hasheuni  27717  eulerpartlems  27925  eldmgm  28190  rprisefaccl  28708  faclimlem1  28731  faclimlem3  28733  faclim  28734  iprodfac  28735  rrntotbnd  29922  pell14qrgt0  30386  pell1qrgaplem  30400  monotoddzzfi  30469  jm2.17a  30489  jm2.22  30530  rmxdiophlem  30550  hashgcdlem  30751  ioodvbdlimc1lem2  31217  ioodvbdlimc2lem  31219  wallispilem3  31322  stirlinglem7  31335  fourierdlem92  31454  elfz2z  31755  fz0addge0  31759  elfzlble  31760  2ffzoeq  31765  nn0sumltlt  31878
  Copyright terms: Public domain W3C validator