MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0 Structured version   Unicode version

Theorem nn0ge0 10605
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )

Proof of Theorem nn0ge0
StepHypRef Expression
1 elnn0 10581 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 nngt0 10351 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
3 id 22 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
43eqcomd 2448 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  0  =  N )
52, 4orim12i 516 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0  < 
N  \/  0  =  N ) )
61, 5sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )
7 0re 9386 . . 3  |-  0  e.  RR
8 nn0re 10588 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
9 leloe 9461 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
107, 8, 9sylancr 663 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
116, 10mpbird 232 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   RRcr 9281   0cc0 9282    < clt 9418    <_ cle 9419   NNcn 10322   NN0cn0 10579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580
This theorem is referenced by:  nn0nlt0  10606  nn0ge0i  10607  nn0le0eq0  10608  nn0p1gt0  10609  0mnnnnn0  10612  nn0addge1  10626  nn0addge2  10627  nn0ge0d  10639  nn0lt10b  10706  nn0ge0div  10711  nn0pnfge0  11112  0elfz  11483  fz0fzelfz0  11486  fz0fzdiffz0  11489  elfzelfzadd  11508  fzctr  11529  elfzodifsumelfzo  11604  injresinjlem  11638  addmodid  11748  modifeq2int  11761  bernneq  11990  bernneq3  11992  faclbnd  12066  faclbnd6  12075  facubnd  12076  bcval5  12094  hashneq0  12132  brfi1uzind  12219  ccatws1n0  12310  repswswrd  12422  bitsinv1  13638  smuval2  13678  gcdn0gt0  13706  nn0gcdid0  13709  absmulgcd  13731  algcvgblem  13752  algcvga  13754  nonsq  13837  odzdvds  13867  pcfaclem  13960  coe1sclmul  17735  coe1sclmul2  17737  prmirredlem  17917  prmirred  17919  prmirredlemOLD  17920  prmirredOLD  17922  mdegle0  21548  plypf1  21680  dgrlt  21733  fta1  21774  taylfval  21824  basellem3  22420  bcmono  22616  lgsdinn0  22679  dchrisumlem1  22738  dchrisumlem2  22739  wlkonwlk  23434  cyclnspth  23517  cyclispthon  23519  nvnencycllem  23529  xrsmulgzz  26139  hashf2  26533  hasheuni  26534  eulerpartlems  26743  eldmgm  27008  rprisefaccl  27526  faclimlem1  27549  faclimlem3  27551  faclim  27552  iprodfac  27553  rrntotbnd  28735  pell14qrgt0  29200  pell1qrgaplem  29214  monotoddzzfi  29283  jm2.17a  29303  jm2.22  29344  rmxdiophlem  29364  hashgcdlem  29565  wallispilem3  29862  stirlinglem7  29875  elfz2z  30198  fz0addge0  30203  elfzlble  30208  2ffzoeq  30214  wwlkextwrd  30360  wwlkextfun  30361  wwlkextinj  30362  difelfzle  30487  wwlkextproplem1  30560  wwlkextproplem2  30561  wwlkextproplem3  30562  rusgranumwlks  30574  nn0sumltlt  30742
  Copyright terms: Public domain W3C validator