MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ex Structured version   Unicode version

Theorem nn0ex 10577
Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ex  |-  NN0  e.  _V

Proof of Theorem nn0ex
StepHypRef Expression
1 df-n0 10572 . 2  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
2 nnex 10320 . . 3  |-  NN  e.  _V
3 snex 4528 . . 3  |-  { 0 }  e.  _V
42, 3unex 6373 . 2  |-  ( NN  u.  { 0 } )  e.  _V
51, 4eqeltri 2508 1  |-  NN0  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    u. cun 3321   {csn 3872   0cc0 9274   NNcn 10314   NN0cn0 10571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-nn 10315  df-n0 10572
This theorem is referenced by:  nn0ennn  11793  nnenom  11794  expcnv  13318  geolim  13322  cvgrat  13335  mertenslem2  13337  eftlub  13385  bitsfval  13611  bitsf  13615  sadfval  13640  smufval  13665  smupf  13666  1arith  13980  ramcl  14082  psrbag  17411  coe1fval  17641  fvcoe1  17643  coe1fval3  17644  coe1f2  17645  coe1sfi  17648  coe1sfiOLD  17649  00ply1bas  17675  ply1plusgfvi  17677  coe1z  17697  coe1add  17698  coe1addfv  17699  coe1mul2lem1  17701  coe1mul2lem2  17702  coe1mul2  17703  coe1tm  17706  coe1sclmul  17715  coe1sclmulfv  17716  coe1sclmul2  17717  ply1coefsupp  17725  ply1coe  17726  ply1coeOLD  17727  evls1gsumadd  17739  evls1gsummul  17740  evl1gsummul  17774  nn0srg  17861  dyadmax  21058  cpnfval  21386  deg1ldg  21543  deg1leb  21546  deg1val  21547  deg1valOLD  21548  deg1mul3  21567  deg1mul3le  21568  uc1pmon1p  21603  plyval  21641  elply2  21644  plyf  21646  elplyr  21649  plyeq0lem  21658  plyeq0  21659  plypf1  21660  plyaddlem1  21661  plyaddlem  21663  plymullem  21664  coeeulem  21672  coeeq  21675  dgrlem  21677  coeidlem  21685  coeaddlem  21696  coemulc  21702  coe0  21703  coesub  21704  dgradd2  21715  dgrcolem2  21721  plydivlem4  21742  plydiveu  21744  vieta1lem2  21757  taylfval  21804  pserval  21855  dvradcnv  21866  pserdvlem2  21873  abelthlem1  21876  abelthlem3  21878  abelthlem6  21881  logtayl  22085  leibpi  22317  sqff1o  22500  iseupa  23554  eulerpartleme  26715  eulerpartlem1  26719  eulerpartlemt  26723  eulerpartgbij  26724  eulerpartlemr  26726  eulerpartlemmf  26727  eulerpartlemgvv  26728  eulerpartlemgs2  26732  eulerpartlemn  26733  fib0  26751  fib1  26752  fibp1  26753  dfrtrclrec2  27314  rtrclreclem.refl  27315  rtrclreclem.subset  27316  rtrclreclem.min  27318  bpolylem  28160  heiborlem3  28683  eldiophb  29066  diophrw  29068  hbtlem1  29450  hbtlem7  29452  dgrsub2  29462  mpaaeu  29478  deg1mhm  29546  elovmptnn0wrd  30228  wwlkn  30287  clwwlkn  30401  clwwlknprop  30406  suppssfz  30755  fsuppmapnn0ub  30765  fsuppmapnn0fiub0  30770  mptnn0fsupp  30771  fsfnn0gsumfsffz  30772  gsummptnn0fz  30775  coe1fsupp  30797  gsumsmonply1  30807  gsummoncoe1  30808  mply1topmatcllem  30853  mply1topmatcl  30855  pmatcollpw1lem4  30859  pmatcollpw1  30861  pmatcollpw2lem  30862  pmatcollpw2  30863
  Copyright terms: Public domain W3C validator