Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0archi Structured version   Unicode version

Theorem nn0archi 27658
Description: The monoid of the nonnegative integers is Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0archi  |-  (flds  NN0 )  e. Archi

Proof of Theorem nn0archi
StepHypRef Expression
1 df-refld 18510 . . . 4  |- RRfld  =  (flds  RR )
21oveq1i 6305 . . 3  |-  (RRfld ↾s  NN0 )  =  ( (flds  RR )s 
NN0 )
3 resubdrg 18513 . . . . 5  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  /\ RRfld  e.  DivRing )
43simpli 458 . . . 4  |-  RR  e.  (SubRing ` fld )
5 nn0ssre 10811 . . . 4  |-  NN0  C_  RR
6 ressabs 14570 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  (SubRing ` fld )  /\  NN0  C_  RR )  ->  ( (flds  RR )s  NN0 )  =  (flds  NN0 )
)
74, 5, 6mp2an 672 . . 3  |-  ( (flds  RR )s  NN0 )  =  (flds  NN0 )
82, 7eqtri 2496 . 2  |-  (RRfld ↾s  NN0 )  =  (flds  NN0 )
9 retos 18523 . . . 4  |- RRfld  e. Toset
10 rearchi 27657 . . . 4  |- RRfld  e. Archi
119, 10pm3.2i 455 . . 3  |-  (RRfld  e. Toset  /\ RRfld  e. Archi )
12 nn0subm 18343 . . . 4  |-  NN0  e.  (SubMnd ` fld )
13 subrgsubg 17306 . . . . . 6  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  ->  RR  e.  (SubGrp ` fld ) )
14 subgsubm 16095 . . . . . 6  |-  ( RR  e.  (SubGrp ` fld )  ->  RR  e.  (SubMnd ` fld ) )
154, 13, 14mp2b 10 . . . . 5  |-  RR  e.  (SubMnd ` fld )
161subsubm 15860 . . . . 5  |-  ( RR  e.  (SubMnd ` fld )  ->  ( NN0 
e.  (SubMnd ` RRfld )  <->  ( NN0  e.  (SubMnd ` fld )  /\  NN0  C_  RR ) ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . 4  |-  ( NN0 
e.  (SubMnd ` RRfld )  <->  ( NN0  e.  (SubMnd ` fld )  /\  NN0  C_  RR ) )
1812, 5, 17mpbir2an 918 . . 3  |-  NN0  e.  (SubMnd ` RRfld )
19 submarchi 27554 . . 3  |-  ( ( (RRfld  e. Toset  /\ RRfld  e. Archi )  /\  NN0  e.  (SubMnd ` RRfld ) )  ->  (RRfld ↾s  NN0 )  e. Archi )
2011, 18, 19mp2an 672 . 2  |-  (RRfld ↾s  NN0 )  e. Archi
218, 20eqeltrri 2552 1  |-  (flds  NN0 )  e. Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   NN0cn0 10807   ↾s cress 14508  Tosetctos 15537  SubMndcsubmnd 15838  SubGrpcsubg 16067   DivRingcdr 17267  SubRingcsubrg 17296  ℂfldccnfld 18290  RRfldcrefld 18509  Archicarchi 27545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-0g 14714  df-poset 15450  df-plt 15462  df-toset 15538  df-ps 15704  df-tsr 15705  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cmn 16673  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-rnghom 17236  df-drng 17269  df-field 17270  df-subrg 17298  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-zrh 18410  df-refld 18510  df-omnd 27513  df-ogrp 27514  df-inftm 27546  df-archi 27547  df-orng 27612  df-ofld 27613
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator