MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcld Structured version   Unicode version

Theorem nn0addcld 10632
Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
nn0addcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0addcld  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0addcld
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0addcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
3 nn0addcl 10607 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  +  B
)  e.  NN0 )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756  (class class class)co 6086    + caddc 9277   NN0cn0 10571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-nn 10315  df-n0 10572
This theorem is referenced by:  expaddz  11900  bccl  12090  swrdccat2  12344  splval2  12391  mertenslem1  13336  bitsmod  13624  bitsinv1lem  13629  sadcaddlem  13645  sadadd2lem  13647  sadadd  13655  sadass  13659  smupp1  13668  smumul  13681  pcpremul  13902  gzabssqcl  13994  mul4sq  14007  4sqlem12  14009  4sqlem14  14011  4sqlem16  14013  sylow1lem1  16088  efgcpbllemb  16243  coe1tmmul2fv  17706  coe1pwmulfv  17708  mdegmullem  21524  coe1mul3  21546  deg1mul2  21561  ply1domn  21570  ply1divex  21583  plymullem  21659  coeeulem  21667  dgrmul  21712  dvntaylp  21811  taylthlem2  21814  mumullem2  22493  lgseisenlem2  22664  2sqlem8  22686  vdgrfif  23520  omndmul2  26126  oddpwdc  26689  iwrdsplit  26722  fiblem  26733  fibp1  26736  signshlen  26943  dmgmaddnn0  26965  subfacp1lem6  27025  rtrclreclem.trans  27299  faclim2  27505  mon1psubm  29527  itgpowd  29543  itgsinexp  29748  wallispilem5  29817  wallispi2lem2  29820  stirlinglem5  29826  stirlinglem7  29828  wwlkext2clwwlk  30418  numclwwlk2lem1  30648  numclwlk2lem2f  30649  numclwlk2lem2f1o  30651
  Copyright terms: Public domain W3C validator