MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcld Structured version   Unicode version

Theorem nn0addcld 10750
Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
nn0addcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0addcld  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0addcld
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0addcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
3 nn0addcl 10725 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  +  B
)  e.  NN0 )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758  (class class class)co 6199    + caddc 9395   NN0cn0 10689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-ltxr 9533  df-nn 10433  df-n0 10690
This theorem is referenced by:  expaddz  12024  bccl  12214  swrdccat2  12469  splval2  12516  mertenslem1  13461  bitsmod  13749  bitsinv1lem  13754  sadcaddlem  13770  sadadd2lem  13772  sadadd  13780  sadass  13784  smupp1  13793  smumul  13806  pcpremul  14027  gzabssqcl  14119  mul4sq  14132  4sqlem12  14134  4sqlem14  14136  4sqlem16  14138  sylow1lem1  16217  efgcpbllemb  16372  coe1tmmul2fv  17854  coe1pwmulfv  17856  mdegmullem  21681  coe1mul3  21703  deg1mul2  21718  ply1domn  21727  ply1divex  21740  plymullem  21816  coeeulem  21824  dgrmul  21869  dvntaylp  21968  taylthlem2  21971  mumullem2  22650  lgseisenlem2  22821  2sqlem8  22843  vdgrfif  23720  omndmul2  26319  oddpwdc  26880  iwrdsplit  26913  fiblem  26924  fibp1  26927  signshlen  27134  dmgmaddnn0  27156  subfacp1lem6  27216  rtrclreclem.trans  27491  faclim2  27697  mon1psubm  29721  itgpowd  29737  itgsinexp  29942  wallispilem5  30011  wallispi2lem2  30014  stirlinglem5  30020  stirlinglem7  30022  wwlkext2clwwlk  30612  numclwwlk2lem1  30842  numclwlk2lem2f  30843  numclwlk2lem2f1o  30845  chfacfscmulgsum  31331  chfacfpmmulfsupp  31334  chfacfpmmulgsum  31335  cpmadugsumlemF  31347
  Copyright terms: Public domain W3C validator