MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcld Structured version   Unicode version

Theorem nn0addcld 10852
Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
nn0addcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0addcld  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0addcld
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0addcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
3 nn0addcl 10827 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  +  B
)  e.  NN0 )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767  (class class class)co 6282    + caddc 9491   NN0cn0 10791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-nn 10533  df-n0 10792
This theorem is referenced by:  expaddz  12172  bccl  12362  swrdccat2  12640  splval2  12690  mertenslem1  13649  bitsmod  13938  bitsinv1lem  13943  sadcaddlem  13959  sadadd2lem  13961  sadadd  13969  sadass  13973  smupp1  13982  smumul  13995  pcpremul  14219  gzabssqcl  14311  mul4sq  14324  4sqlem12  14326  4sqlem14  14328  4sqlem16  14330  sylow1lem1  16411  efgcpbllemb  16566  coe1tmmul2fv  18087  coe1pwmulfv  18089  chfacfscmulgsum  19125  chfacfpmmulfsupp  19128  chfacfpmmulgsum  19129  cpmadugsumlemF  19141  mdegmullem  22210  coe1mul3  22232  deg1mul2  22247  ply1domn  22256  ply1divex  22269  plymullem  22345  coeeulem  22353  dgrmul  22398  dvntaylp  22497  taylthlem2  22500  mumullem2  23179  lgseisenlem2  23350  2sqlem8  23372  wwlkext2clwwlk  24476  vdgrfif  24572  numclwwlk2lem1  24776  numclwlk2lem2f  24777  numclwlk2lem2f1o  24779  omndmul2  27361  oddpwdc  27930  iwrdsplit  27963  fiblem  27974  fibp1  27977  signshlen  28184  dmgmaddnn0  28206  subfacp1lem6  28266  rtrclreclem.trans  28541  faclim2  28747  mon1psubm  30771  itgpowd  30787  itgsinexp  31272  wallispilem5  31369  wallispi2lem2  31372  stirlinglem5  31378  stirlinglem7  31380  fourierdlem48  31455
  Copyright terms: Public domain W3C validator