MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcld Structured version   Unicode version

Theorem nn0addcld 10628
Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
nn0addcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0addcld  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0addcld
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0addcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
3 nn0addcl 10603 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  +  B
)  e.  NN0 )
41, 2, 3syl2anc 654 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755  (class class class)co 6080    + caddc 9273   NN0cn0 10567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-ltxr 9411  df-nn 10311  df-n0 10568
This theorem is referenced by:  expaddz  11892  bccl  12082  swrdccat2  12336  splval2  12383  mertenslem1  13327  bitsmod  13615  bitsinv1lem  13620  sadcaddlem  13636  sadadd2lem  13638  sadadd  13646  sadass  13650  smupp1  13659  smumul  13672  pcpremul  13893  gzabssqcl  13985  mul4sq  13998  4sqlem12  14000  4sqlem14  14002  4sqlem16  14004  sylow1lem1  16077  efgcpbllemb  16232  coe1tmmul2fv  17629  coe1pwmulfv  17631  mdegmullem  21434  coe1mul3  21456  deg1mul2  21471  ply1domn  21480  ply1divex  21493  plymullem  21569  coeeulem  21577  dgrmul  21622  dvntaylp  21721  taylthlem2  21724  mumullem2  22403  lgseisenlem2  22574  2sqlem8  22596  vdgrfif  23392  omndmul2  25999  oddpwdc  26585  iwrdsplit  26618  fiblem  26629  fibp1  26632  signshlen  26839  dmgmaddnn0  26861  subfacp1lem6  26921  rtrclreclem.trans  27195  faclim2  27401  mon1psubm  29419  itgpowd  29435  itgsinexp  29641  wallispilem5  29710  wallispi2lem2  29713  stirlinglem5  29719  stirlinglem7  29721  wwlkext2clwwlk  30311  numclwwlk2lem1  30541  numclwlk2lem2f  30542  numclwlk2lem2f1o  30544
  Copyright terms: Public domain W3C validator