MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcl Structured version   Unicode version

Theorem nn0addcl 10620
Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0addcl  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0addcl
StepHypRef Expression
1 nnsscn 10332 . 2  |-  NN  C_  CC
2 id 22 . . 3  |-  ( NN  C_  CC  ->  NN  C_  CC )
3 df-n0 10585 . . 3  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
4 nnaddcl 10349 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
54adantl 466 . . 3  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN )
62, 3, 5un0addcl 10618 . 2  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
71, 6mpan 670 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    C_ wss 3333  (class class class)co 6096   CCcc 9285    + caddc 9290   NNcn 10327   NN0cn0 10584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-ltxr 9428  df-nn 10328  df-n0 10585
This theorem is referenced by:  nn0addcli  10622  peano2nn0  10625  nn0addcld  10645  nn0readdcl  10647  elfzelfzadd  11513  elfzodifsumelfzo  11609  expadd  11911  faclbnd4lem3  12076  faclbnd5  12079  faclbnd6  12080  facavg  12082  ccatlen  12280  swrdswrdlem  12358  swrdswrd  12359  swrdccatin1  12379  swrdccatin12lem3  12386  swrdccatid  12393  splfv2a  12403  repswswrd  12427  repswccat  12428  fsumnn0cl  13218  bcxmas  13303  eftlub  13398  4sqlem1  14014  psgnunilem2  16006  sylow1lem1  16102  psrbagaddcl  17443  psrbagaddclOLD  17444  nn0subm  17873  expmhm  17885  dvnadd  21408  ply1divex  21613  coemullem  21722  coemulhi  21726  plymul0or  21752  chtublem  22555  2sqlem7  22714  vdgrf  23573  relexpsucr  27337  relexpadd  27345  nn0risefaccl  27530  erclwwlktr0  30484  difelfznle  30493  numclwwlk2lem1  30700  ply1mulgsumlem1  30849
  Copyright terms: Public domain W3C validator