MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcl Structured version   Unicode version

Theorem nn0addcl 10827
Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0addcl  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0addcl
StepHypRef Expression
1 nnsscn 10536 . 2  |-  NN  C_  CC
2 id 22 . . 3  |-  ( NN  C_  CC  ->  NN  C_  CC )
3 df-n0 10792 . . 3  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
4 nnaddcl 10553 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
54adantl 464 . . 3  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN )
62, 3, 5un0addcl 10825 . 2  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
71, 6mpan 668 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1823    C_ wss 3461  (class class class)co 6270   CCcc 9479    + caddc 9484   NNcn 10531   NN0cn0 10791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-nn 10532  df-n0 10792
This theorem is referenced by:  nn0addcli  10829  peano2nn0  10832  nn0addcld  10852  nn0readdcl  10854  elfz0addOLD  11780  difelfznle  11793  elfzodifsumelfzo  11863  expadd  12190  faclbnd4lem3  12355  faclbnd5  12358  faclbnd6  12359  facavg  12361  ccatlen  12583  swrdswrdlem  12675  swrdswrd  12676  swrdccatin1  12699  swrdccatin12lem3  12706  swrdccatid  12713  splfv2a  12723  repswswrd  12747  repswccat  12748  cshwcsh2id  12787  fsumnn0cl  13640  bcxmas  13729  eftlub  13926  4sqlem1  14550  psgnunilem2  16719  sylow1lem1  16817  psrbagaddcl  18215  psrbagaddclOLD  18216  nn0subm  18668  expmhm  18680  dvnadd  22498  ply1divex  22703  coemullem  22813  coemulhi  22817  plymul0or  22843  chtublem  23684  2sqlem7  23843  vdgrf  25100  numclwwlk2lem1  25304  nn0risefaccl  29385  ply1mulgsumlem1  33240
  Copyright terms: Public domain W3C validator