MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0abscl Structured version   Unicode version

Theorem nn0abscl 12801
Description: The absolute value of an integer is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
nn0abscl  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( abs `  A )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem nn0abscl
StepHypRef Expression
1 zre 10650 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
2 absz 12800 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  e.  ZZ  <->  ( abs `  A )  e.  ZZ ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ZZ  <->  ( abs `  A )  e.  ZZ ) )
43ibi 241 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( abs `  A )  e.  ZZ )
5 zcn 10651 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
6 absge0 12776 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
8 elnn0z 10659 . 2  |-  ( ( abs `  A )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  A )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( abs `  A ) ) )
94, 7, 8sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( abs `  A )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   ` cfv 5418   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282    <_ cle 9419   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   abscabs 12723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725
This theorem is referenced by:  nnabscl  12813  absrdbnd  12829  divalglem0  13597  divalglem2  13599  divalglem5  13601  gcdcllem1  13695  gcd0id  13707  gcdabs2  13719  absmulgcd  13731  sqnprm  13784  mulgcddvds  13790  zgcdsq  13831  4sqlem11  14016  odnncl  16048  gexdvds  16083  prmirredlem  17917  prmirredlemOLD  17920  zdis  20393  aannenlem2  21795  efif1olem4  22001  lgsdirprm  22668  lgsabs1  22673  2sqblem  22716  rplogsumlem2  22734  pellexlem5  29174  zabscl  29331  jm2.19  29342
  Copyright terms: Public domain W3C validator