MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmsub Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nmsub 21636
Description: The norm of the difference between two elements. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmf.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
nmmtri.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
nmsub  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  B ) )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )

Proof of Theorem nmsub
StepHypRef Expression
1 simp1 1008 . . . . 5  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e. NrmGrp )
2 ngpgrp 21613 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
4 simp3 1010 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
5 simp2 1009 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
6 nmf.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
7 nmmtri.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
8 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
96, 7, 8grpinvsub 16736 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  ( B  .-  A ) )  =  ( A  .-  B ) )
103, 4, 5, 9syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( invg `  G ) `  ( B  .-  A ) )  =  ( A  .-  B ) )
1110fveq2d 5869 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( invg `  G ) `
 ( B  .-  A ) ) )  =  ( N `  ( A  .-  B ) ) )
126, 7grpsubcl 16734 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B  .-  A
)  e.  X )
133, 4, 5, 12syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B  .-  A )  e.  X )
14 nmf.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  G
)
156, 14, 8nminv 21634 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  ( B  .-  A )  e.  X )  ->  ( N `  ( ( invg `  G ) `
 ( B  .-  A ) ) )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )
161, 13, 15syl2anc 667 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( invg `  G ) `
 ( B  .-  A ) ) )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )
1711, 16eqtr3d 2487 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  B ) )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   Grpcgrp 16669   invgcminusg 16670   -gcsg 16671   normcnm 21591  NrmGrpcngp 21592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-xms 21335  df-ms 21336  df-nm 21597  df-ngp 21598
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator