MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmsub Structured version   Unicode version

Theorem nmsub 20349
Description: The norm of the difference between two elements. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmf.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
nmmtri.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
nmsub  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  B ) )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )

Proof of Theorem nmsub
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e. NrmGrp )
2 ngpgrp 20326 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
4 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
5 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
6 nmf.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
7 nmmtri.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
8 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
96, 7, 8grpinvsub 15730 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  ( B  .-  A ) )  =  ( A  .-  B ) )
103, 4, 5, 9syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( invg `  G ) `  ( B  .-  A ) )  =  ( A  .-  B ) )
1110fveq2d 5806 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( invg `  G ) `
 ( B  .-  A ) ) )  =  ( N `  ( A  .-  B ) ) )
126, 7grpsubcl 15728 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B  .-  A
)  e.  X )
133, 4, 5, 12syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B  .-  A )  e.  X )
14 nmf.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  G
)
156, 14, 8nminv 20347 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  ( B  .-  A )  e.  X )  ->  ( N `  ( ( invg `  G ) `
 ( B  .-  A ) ) )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )
161, 13, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( invg `  G ) `
 ( B  .-  A ) ) )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )
1711, 16eqtr3d 2497 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  B ) )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   Grpcgrp 15532   invgcminusg 15533   -gcsg 15535   normcnm 20304  NrmGrpcngp 20305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-0g 14502  df-topgen 14504  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-xms 20030  df-ms 20031  df-nm 20310  df-ngp 20311
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator