MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmrtri Structured version   Unicode version

Theorem nmrtri 21268
Description: Reverse triangle inequality for the norm of a subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmf.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
nmmtri.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
nmrtri  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )  <_  ( N `  ( A  .-  B ) ) )

Proof of Theorem nmrtri
StepHypRef Expression
1 ngpms 21245 . . . 4  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
213ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  MetSp )
3 simp2 997 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
4 simp3 998 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
5 ngpgrp 21244 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
653ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
7 nmf.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
97, 8grpidcl 16204 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
106, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
11 eqid 2457 . . . 4  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
127, 11msrtri 21100 . . 3  |-  ( ( G  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( 0g `  G )  e.  X ) )  ->  ( abs `  (
( A ( dist `  G ) ( 0g
`  G ) )  -  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) ) )  <_  ( A (
dist `  G ) B ) )
132, 3, 4, 10, 12syl13anc 1230 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( A ( dist `  G
) ( 0g `  G ) )  -  ( B ( dist `  G
) ( 0g `  G ) ) ) )  <_  ( A
( dist `  G ) B ) )
14 nmf.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  G
)
1514, 7, 8, 11nmval 21235 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( N `  A )  =  ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
16153ad2ant2 1018 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  =  ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
1714, 7, 8, 11nmval 21235 . . . . 5  |-  ( B  e.  X  ->  ( N `  B )  =  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
18173ad2ant3 1019 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  =  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
1916, 18oveq12d 6314 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  ( N `
 B ) )  =  ( ( A ( dist `  G
) ( 0g `  G ) )  -  ( B ( dist `  G
) ( 0g `  G ) ) ) )
2019fveq2d 5876 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )  =  ( abs `  ( ( A ( dist `  G
) ( 0g `  G ) )  -  ( B ( dist `  G
) ( 0g `  G ) ) ) ) )
21 nmmtri.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
2214, 7, 21, 11ngpds 21248 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( dist `  G
) B )  =  ( N `  ( A  .-  B ) ) )
2322eqcomd 2465 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  B ) )  =  ( A ( dist `  G ) B ) )
2413, 20, 233brtr4d 4486 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )  <_  ( N `  ( A  .-  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    <_ cle 9646    - cmin 9824   abscabs 13078   Basecbs 14643   distcds 14720   0gc0g 14856   Grpcgrp 16179   -gcsg 16181   MetSpcmt 20946   normcnm 21222  NrmGrpcngp 21223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-0g 14858  df-topgen 14860  df-xrs 14918  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-xms 20948  df-ms 20949  df-nm 21228  df-ngp 21229
This theorem is referenced by:  nm2dif  21269
  Copyright terms: Public domain W3C validator