MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmrtri Structured version   Unicode version

Theorem nmrtri 20213
Description: Reverse triangle inequality for the norm of a subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmf.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
nmmtri.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
nmrtri  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )  <_  ( N `  ( A  .-  B ) ) )

Proof of Theorem nmrtri
StepHypRef Expression
1 ngpms 20190 . . . 4  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
213ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  MetSp )
3 simp2 989 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
4 simp3 990 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
5 ngpgrp 20189 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
653ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
7 nmf.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
97, 8grpidcl 15564 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
106, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
11 eqid 2441 . . . 4  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
127, 11msrtri 20045 . . 3  |-  ( ( G  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( 0g `  G )  e.  X ) )  ->  ( abs `  (
( A ( dist `  G ) ( 0g
`  G ) )  -  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) ) )  <_  ( A (
dist `  G ) B ) )
132, 3, 4, 10, 12syl13anc 1220 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( A ( dist `  G
) ( 0g `  G ) )  -  ( B ( dist `  G
) ( 0g `  G ) ) ) )  <_  ( A
( dist `  G ) B ) )
14 nmf.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  G
)
1514, 7, 8, 11nmval 20180 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( N `  A )  =  ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
16153ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  =  ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
1714, 7, 8, 11nmval 20180 . . . . 5  |-  ( B  e.  X  ->  ( N `  B )  =  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
18173ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  =  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
1916, 18oveq12d 6107 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  ( N `
 B ) )  =  ( ( A ( dist `  G
) ( 0g `  G ) )  -  ( B ( dist `  G
) ( 0g `  G ) ) ) )
2019fveq2d 5693 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )  =  ( abs `  ( ( A ( dist `  G
) ( 0g `  G ) )  -  ( B ( dist `  G
) ( 0g `  G ) ) ) ) )
21 nmmtri.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
2214, 7, 21, 11ngpds 20193 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( dist `  G
) B )  =  ( N `  ( A  .-  B ) ) )
2322eqcomd 2446 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  B ) )  =  ( A ( dist `  G ) B ) )
2413, 20, 233brtr4d 4320 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )  <_  ( N `  ( A  .-  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    <_ cle 9417    - cmin 9593   abscabs 12721   Basecbs 14172   distcds 14245   0gc0g 14376   Grpcgrp 15408   -gcsg 15411   MetSpcmt 19891   normcnm 20167  NrmGrpcngp 20168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-fz 11436  df-seq 11805  df-exp 11864  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-0g 14378  df-topgen 14380  df-xrs 14438  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-xms 19893  df-ms 19894  df-nm 20173  df-ngp 20174
This theorem is referenced by:  nm2dif  20214
  Copyright terms: Public domain W3C validator