Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmpropd2 Structured version   Unicode version

Theorem nmpropd2 21409
 Description: Strong property deduction for a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpropd2.1
nmpropd2.2
nmpropd2.3
nmpropd2.4
nmpropd2.5
Assertion
Ref Expression
nmpropd2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem nmpropd2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmpropd2.1 . . . 4
2 nmpropd2.2 . . . 4
31, 2eqtr3d 2447 . . 3
4 nmpropd2.5 . . . . . 6
51sqxpeqd 4851 . . . . . . 7
65reseq2d 5096 . . . . . 6
74, 6eqtr3d 2447 . . . . 5
82sqxpeqd 4851 . . . . . 6
98reseq2d 5096 . . . . 5
107, 9eqtr3d 2447 . . . 4
11 eqidd 2405 . . . 4
12 nmpropd2.4 . . . . 5
131, 2, 12grpidpropd 16214 . . . 4
1410, 11, 13oveq123d 6301 . . 3
153, 14mpteq12dv 4475 . 2
16 nmpropd2.3 . . 3
17 eqid 2404 . . . 4
18 eqid 2404 . . . 4
19 eqid 2404 . . . 4
20 eqid 2404 . . . 4
21 eqid 2404 . . . 4
2217, 18, 19, 20, 21nmfval2 21405 . . 3
2316, 22syl 17 . 2
241, 2, 12grppropd 16394 . . . 4
2516, 24mpbid 212 . . 3
26 eqid 2404 . . . 4
27 eqid 2404 . . . 4
28 eqid 2404 . . . 4
29 eqid 2404 . . . 4
30 eqid 2404 . . . 4
3126, 27, 28, 29, 30nmfval2 21405 . . 3
3225, 31syl 17 . 2
3315, 23, 323eqtr4d 2455 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1407   wcel 1844   cmpt 4455   cxp 4823   cres 4827  cfv 5571  (class class class)co 6280  cbs 14843   cplusg 14911  cds 14920  c0g 15056  cgrp 16379  cnm 21391 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-nm 21397 This theorem is referenced by:  ngppropd  21445
 Copyright terms: Public domain W3C validator