MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmounbseqiALT Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nmounbseqiALT 26431
Description: Alternate shorter proof of nmounbseqi 26430 based on axioms ax-reg 8112 and ax-ac2 8898 instead of ax-cc 8870. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmounbseqiALT  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( N `  T )  = +oo )  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  (
( L `  (
f `  k )
)  <_  1  /\  k  <  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, k, L    k, Y    f, M, k    T, f, k    f, X, k    k, N
Allowed substitution hints:    U( f, k)    N( f)    W( f, k)    Y( f)

Proof of Theorem nmounbseqiALT
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoubi.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nmoubi.y . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
3 nmoubi.l . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
4 nmoubi.m . . . 4  |-  M  =  ( normCV `  W )
5 nmoubi.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
6 nmoubi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
7 nmoubi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7nmounbi 26429 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  = +oo  <->  A. k  e.  RR  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  k  < 
( M `  ( T `  y )
) ) ) )
98biimpa 487 . 2  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( N `  T )  = +oo )  ->  A. k  e.  RR  E. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  /\  k  <  ( M `  ( T `  y ) ) ) )
10 nnre 10623 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
1110imim1i 60 . . 3  |-  ( ( k  e.  RR  ->  E. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  /\  k  <  ( M `  ( T `  y ) ) ) )  -> 
( k  e.  NN  ->  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  k  <  ( M `
 ( T `  y ) ) ) ) )
1211ralimi2 2780 . 2  |-  ( A. k  e.  RR  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  k  < 
( M `  ( T `  y )
) )  ->  A. k  e.  NN  E. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  /\  k  <  ( M `  ( T `
 y ) ) ) )
13 nnex 10622 . . 3  |-  NN  e.  _V
14 fveq2 5870 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( L `  y )  =  ( L `  ( f `  k
) ) )
1514breq1d 4415 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( L `  y
)  <_  1  <->  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
) )
16 fveq2 5870 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( T `  y )  =  ( T `  ( f `  k
) ) )
1716fveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( M `  ( T `  y ) )  =  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) ) )
1817breq2d 4417 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
k  <  ( M `  ( T `  y
) )  <->  k  <  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) ) ) )
1915, 18anbi12d 718 . . 3  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  /\  k  <  ( M `
 ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  /\  k  <  ( M `
 ( T `  ( f `  k
) ) ) ) ) )
2013, 19ac6s 8919 . 2  |-  ( A. k  e.  NN  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  k  < 
( M `  ( T `  y )
) )  ->  E. f
( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  /\  k  <  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) ) ) ) )
219, 12, 203syl 18 1  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( N `  T )  = +oo )  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  (
( L `  (
f `  k )
)  <_  1  /\  k  <  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   class class class wbr 4405   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   RRcr 9543   1c1 9545   +oocpnf 9677    < clt 9680    <_ cle 9681   NNcn 10616   NrmCVeccnv 26215   BaseSetcba 26217   normCVcnmcv 26221   normOpOLDcnmoo 26394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-reg 8112  ax-inf2 8151  ax-ac2 8898  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-r1 8240  df-rank 8241  df-card 8378  df-ac 8552  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-grpo 25931  df-gid 25932  df-ginv 25933  df-ablo 26022  df-vc 26177  df-nv 26223  df-va 26226  df-ba 26227  df-sm 26228  df-0v 26229  df-nmcv 26231  df-nmoo 26398
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator