Theorem nmoubi 9774

Description: An upper bound for an operator norm.

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	|- X = (BaseSet` U)
nmoubi.y	|- Y = (BaseSet` W)
nmoubi.l	|- L = (norm` U)
nmoubi.m	|- M = (norm` W)
nmoubi.3	|- N = (UnormOpW)
nmoubi.u	|- U e. NrmCVec
nmoubi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmoubi	|- ((T:X-->Y /\ A e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A)) -> (N` T) <_ A)

Distinct variable groups:   x,A   x,L   x,M   x,T   x,X   x,Y

Proof of Theorem nmoubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoubi.u	. . . 4 |- U e. NrmCVec
2		nmoubi.w	. . . 4 |- W e. NrmCVec
3		nmoubi.1	. . . . 5 |- X = (BaseSet` U)
4		nmoubi.y	. . . . 5 |- Y = (BaseSet` W)
5		nmoubi.l	. . . . 5 |- L = (norm` U)
6		nmoubi.m	. . . . 5 |- M = (norm` W)
7		nmoubi.3	. . . . 5 |- N = (UnormOpW)
8	3, 4, 5, 6, 7	nmoval 9765	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (N` T) = sup({y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ))
9	1, 2, 8	mp3an12 1181	. . 3 |- (T:X-->Y -> (N` T) = sup({y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ))
10	9	3ad2ant1 897	. 2 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A)) -> (N` T) = sup({y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ))
11	4, 6	nmosetre 9766	. . . . . 6 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} C_ RR)
12	2, 11	mpan 759	. . . . 5 |- (T:X-->Y -> {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} C_ RR)
13		ressxr 6667	. . . . . 6 |- RR C_ RR*
14	13	a1i 8	. . . . 5 |- (T:X-->Y -> RR C_ RR*)
15	12, 14	sstrd 2627	. . . 4 |- (T:X-->Y -> {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} C_ RR*)
16	15	3ad2ant1 897	. . 3 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A)) -> {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} C_ RR*)
17		simp2 877	. . 3 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A)) -> A e. RR*)
18		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = z -> (L` x) = (L` z))
19	18	breq1d 3348	. . . . . . . . . . 11 |- (x = z -> ((L` x) <_ 1 <-> (L` z) <_ 1))
20		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = z -> (T` x) = (T` z))
21	20	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = z -> (M` (T` x)) = (M` (T` z)))
22	21	breq1d 3348	. . . . . . . . . . 11 |- (x = z -> ((M` (T` x)) <_ A <-> (M` (T` z)) <_ A))
23	19, 22	imbi12d 688	. . . . . . . . . 10 |- (x = z -> (((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A) <-> ((L` z) <_ 1 -> (M` (T` z)) <_ A)))
24	23	rcla4cv 2377	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A) -> (z e. X -> ((L` z) <_ 1 -> (M` (T` z)) <_ A)))
25		breq1 3341	. . . . . . . . . 10 |- (w = (M` (T` z)) -> (w <_ A <-> (M` (T` z)) <_ A))
26	25	biimprcd 173	. . . . . . . . 9 |- ((M` (T` z)) <_ A -> (w = (M` (T` z)) -> w <_ A))
27	24, 26	syl8 27	. . . . . . . 8 |- (A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A) -> (z e. X -> ((L` z) <_ 1 -> (w = (M` (T` z)) -> w <_ A))))
28	27	imp4a 391	. . . . . . 7 |- (A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A) -> (z e. X -> (((L` z) <_ 1 /\ w = (M` (T` z))) -> w <_ A)))
29	28	r19.23adv 2215	. . . . . 6 |- (A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A) -> (E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ w = (M` (T` z))) -> w <_ A))
30		visset 2295	. . . . . . 7 |- w e. _V
31		eqeq1 1890	. . . . . . . . 9 |- (y = w -> (y = (M` (T` z)) <-> w = (M` (T` z))))
32	31	anbi2d 678	. . . . . . . 8 |- (y = w -> (((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z))) <-> ((L` z) <_ 1 /\ w = (M` (T` z)))))
33	32	rexbidv 2124	. . . . . . 7 |- (y = w -> (E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z))) <-> E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ w = (M` (T` z)))))
34	30, 33	elab 2403	. . . . . 6 |- (w e. {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} <-> E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ w = (M` (T` z))))
35	29, 34	syl5ib 223	. . . . 5 |- (A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A) -> (w e. {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} -> w <_ A))
36	35	r19.21aiv 2175	. . . 4 |- (A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A) -> A.w e. {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}w <_ A)
37	36	3ad2ant3 899	. . 3 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A)) -> A.w e. {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}w <_ A)
38		supxrleub 7308	. . 3 |- (({y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} C_ RR* /\ A e. RR* /\ A.w e. {y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}w <_ A) -> sup({y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ) <_ A)
39	16, 17, 37, 38	syl111anc 1100	. 2 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A)) -> sup({y | E.z e. X ((L` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ) <_ A)
40	10, 39	eqbrtrd 3357	1 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ A)) -> (N` T) <_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  RRcr 6385  1c1 6387   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  normcnm 9541  normOpcnmo 9741

This theorem is referenced by:  nmoub3i 9775  nmobndi 9777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-gid 9317  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-nmo 9745

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