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Theorem nmoub3i 25815
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmoub3i  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR  /\  A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
) )  ->  ( N `  T )  <_  ( abs `  A
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, L    x, U    x, W    x, Y    x, M    x, T    x, X
Allowed substitution hint:    N( x)

Proof of Theorem nmoub3i
StepHypRef Expression
1 nmoubi.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  e.  NrmCVec
2 nmoubi.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 nmoubi.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  L  =  ( normCV `  U )
42, 3nvcl 25689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
51, 4mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  ( L `  x )  e.  RR )
6 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( L `  x )  e.  RR )  -> 
( A  x.  ( L `  x )
)  e.  RR )
75, 6sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( A  x.  ( L `  x )
)  e.  RR )
87adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( A  x.  ( L `  x
) )  e.  RR )
9 recn 9599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
109abscld 13279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
11 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( L `  x )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( L `
 x ) )  e.  RR )
1210, 5, 11syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( L `
 x ) )  e.  RR )
1312adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) )  e.  RR )
1410ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
15 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  RR )
1610adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
172, 3nvge0 25704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( L `  x
) )
181, 17mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  ->  0  <_  ( L `  x
) )
195, 18jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  ->  (
( L `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  x ) ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( ( L `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  x ) ) )
21 leabs 13144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( abs `  A
) )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  A  <_  ( abs `  A ) )
23 lemul1a 10417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( ( L `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  x ) ) )  /\  A  <_  ( abs `  A ) )  ->  ( A  x.  ( L `  x ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) ) )
2415, 16, 20, 22, 23syl31anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( A  x.  ( L `  x )
)  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( A  x.  ( L `  x
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  ( L `
 x ) ) )
265adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( L `  x
)  e.  RR )
27 1red 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR )
289absge0d 13287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
3016, 29jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )
3126, 27, 303jca 1176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( ( L `  x )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) ) )
32 lemul2a 10418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L `  x )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )  /\  ( L `  x )  <_  1 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( L `
 x ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  1 ) )
3331, 32sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  1 ) )
3410recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
3534mulid1d 9630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  x.  1 )  =  ( abs `  A
) )
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  1 )  =  ( abs `  A ) )
3733, 36breqtrd 4480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) )  <_  ( abs `  A ) )
388, 13, 14, 25, 37letrd 9756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( A  x.  ( L `  x
) )  <_  ( abs `  A ) )
3938adantlll 717 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T : X
--> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( L `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) )
40 nmoubi.w . . . . . . . . . . . 12  |-  W  e.  NrmCVec
41 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : X --> Y  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  x
)  e.  Y )
42 nmoubi.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
43 nmoubi.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  =  ( normCV `  W )
4442, 43nvcl 25689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  Y )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  e.  RR )
4540, 41, 44sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : X --> Y  /\  x  e.  X )  ->  ( M `  ( T `  x )
)  e.  RR )
4645adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( M `  ( T `  x
) )  e.  RR )
477adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A  x.  ( L `  x
) )  e.  RR )
4810ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
49 letr 9695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( A  x.  ( L `  x )
)  e.  RR  /\  ( abs `  A )  e.  RR )  -> 
( ( ( M `
 ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  /\  ( A  x.  ( L `  x
) )  <_  ( abs `  A ) )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( abs `  A ) ) )
5046, 47, 48, 49syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( M `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  /\  ( A  x.  ( L `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) ) )
5150adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T : X
--> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1 )  ->  (
( ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  /\  ( A  x.  ( L `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) ) )
5239, 51mpan2d 674 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T : X
--> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1 )  ->  (
( M `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) ) )
5352ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
5453com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  ->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
5554ralimdva 2865 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  A. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
5655imp 429 . . 3  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x )
)  <_  ( abs `  A ) ) )
5710rexrd 9660 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  A )  e. 
RR* )
58 nmoubi.3 . . . . . 6  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
592, 42, 3, 43, 58, 1, 40nmoubi 25814 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( abs `  A )  e.  RR* )  ->  (
( N `  T
)  <_  ( abs `  A )  <->  A. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
6057, 59sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( N `  T )  <_  ( abs `  A )  <->  A. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
6160biimpar 485 . . 3  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  A. x  e.  X  ( ( L `
 x )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) )  ->  ( N `  T )  <_  ( abs `  A ) )
6256, 61syldan 470 . 2  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) )  -> 
( N `  T
)  <_  ( abs `  A ) )
63623impa 1191 1  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR  /\  A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
) )  ->  ( N `  T )  <_  ( abs `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    <_ cle 9646   abscabs 13079   NrmCVeccnv 25604   BaseSetcba 25606   normCVcnmcv 25610   normOpOLDcnmoo 25783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ginv 25322  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-nmcv 25620  df-nmoo 25787
This theorem is referenced by:  nmoub2i  25816  isblo3i  25843
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