Theorem nmoub3i 9775

Description: An upper bound for an operator norm.

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	|- X = (BaseSet` U)
nmoubi.y	|- Y = (BaseSet` W)
nmoubi.l	|- L = (norm` U)
nmoubi.m	|- M = (norm` W)
nmoubi.3	|- N = (UnormOpW)
nmoubi.u	|- U e. NrmCVec
nmoubi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmoub3i	|- ((T:X-->Y /\ A e. RR /\ A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (L` x))) -> (N` T) <_ (abs` A))

Distinct variable groups:   x,A   x,L   x,M   x,T   x,X   x,Y

Proof of Theorem nmoub3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ (L` x) e. RR) -> (A x. (L` x)) e. RR)
2		nmoubi.u	. . . . . . . . . . . . 13 |- U e. NrmCVec
3		nmoubi.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- X = (BaseSet` U)
4		nmoubi.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- L = (norm` U)
5	3, 4	nvcl 9619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. X) -> (L` x) e. RR)
6	2, 5	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. X -> (L` x) e. RR)
7	1, 6	sylan2 500	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ x e. X) -> (A x. (L` x)) e. RR)
8	7	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ x e. X) /\ (L` x) <_ 1) -> (A x. (L` x)) e. RR)
9		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . 12 |- (((abs` A) e. RR /\ (L` x) e. RR) -> ((abs` A) x. (L` x)) e. RR)
10		recn 6466	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. RR -> A e. CC)
11		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)
12	10, 11	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. RR -> (abs` A) e. RR)
13	9, 12, 6	syl2an 503	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ x e. X) -> ((abs` A) x. (L` x)) e. RR)
14	13	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ x e. X) /\ (L` x) <_ 1) -> ((abs` A) x. (L` x)) e. RR)
15	12	ad2antrr 440	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ x e. X) /\ (L` x) <_ 1) -> (abs` A) e. RR)
16		simpl 346	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ x e. X) -> A e. RR)
17	12	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ x e. X) -> (abs` A) e. RR)
18	3, 4	nvge0 9634	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. X) -> 0 <_ (L` x))
19	2, 18	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. X -> 0 <_ (L` x))
20	6, 19	jca 310	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. X -> ((L` x) e. RR /\ 0 <_ (L` x)))
21	20	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ x e. X) -> ((L` x) e. RR /\ 0 <_ (L` x)))
22		leabs 8115	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. RR -> A <_ (abs` A))
23	22	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ x e. X) -> A <_ (abs` A))
24		lemul1a 7019	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ (abs` A) e. RR /\ ((L` x) e. RR /\ 0 <_ (L` x))) /\ A <_ (abs` A)) -> (A x. (L` x)) <_ ((abs` A) x. (L` x)))
25	16, 17, 21, 23, 24	syl31anc 1103	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ x e. X) -> (A x. (L` x)) <_ ((abs` A) x. (L` x)))
26	25	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ x e. X) /\ (L` x) <_ 1) -> (A x. (L` x)) <_ ((abs` A) x. (L` x)))
27		lemul2a 7021	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((L` x) e. RR /\ 1 e. RR /\ ((abs` A) e. RR /\ 0 <_ (abs` A))) /\ (L` x) <_ 1) -> ((abs` A) x. (L` x)) <_ ((abs` A) x. 1))
28	6	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ x e. X) -> (L` x) e. RR)
29		1re 6598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
30	29	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ x e. X) -> 1 e. RR)
31		absge0 8105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. CC -> 0 <_ (abs` A))
32	10, 31	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. RR -> 0 <_ (abs` A))
33	32	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ x e. X) -> 0 <_ (abs` A))
34	17, 33	jca 310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ x e. X) -> ((abs` A) e. RR /\ 0 <_ (abs` A)))
35	28, 30, 34	3jca 1050	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ x e. X) -> ((L` x) e. RR /\ 1 e. RR /\ ((abs` A) e. RR /\ 0 <_ (abs` A))))
36	27, 35	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ x e. X) /\ (L` x) <_ 1) -> ((abs` A) x. (L` x)) <_ ((abs` A) x. 1))
37	12	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. RR -> (abs` A) e. CC)
38		ax1id 6435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((abs` A) e. CC -> ((abs` A) x. 1) = (abs` A))
39	37, 38	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. RR -> ((abs` A) x. 1) = (abs` A))
40	39	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ x e. X) /\ (L` x) <_ 1) -> ((abs` A) x. 1) = (abs` A))
41	36, 40	breqtrd 3361	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ x e. X) /\ (L` x) <_ 1) -> ((abs` A) x. (L` x)) <_ (abs` A))
42	8, 14, 15, 26, 41	letrd 6696	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ x e. X) /\ (L` x) <_ 1) -> (A x. (L` x)) <_ (abs` A))
43	42	adantlll 432	. . . . . . . 8 |- ((((T:X-->Y /\ A e. RR) /\ x e. X) /\ (L` x) <_ 1) -> (A x. (L` x)) <_ (abs` A))
44		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T:X-->Y /\ x e. X) -> (T` x) e. Y)
45		nmoubi.w	. . . . . . . . . . . . 13 |- W e. NrmCVec
46		nmoubi.y	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Y = (BaseSet` W)
47		nmoubi.m	. . . . . . . . . . . . . 14 |- M = (norm` W)
48	46, 47	nvcl 9619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((W e. NrmCVec /\ (T` x) e. Y) -> (M` (T` x)) e. RR)
49	45, 48	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T` x) e. Y -> (M` (T` x)) e. RR)
50	44, 49	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:X-->Y /\ x e. X) -> (M` (T` x)) e. RR)
51	50	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((T:X-->Y /\ A e. RR) /\ x e. X) -> (M` (T` x)) e. RR)
52	7	adantll 428	. . . . . . . . . 10 |- (((T:X-->Y /\ A e. RR) /\ x e. X) -> (A x. (L` x)) e. RR)
53	12	ad2antlr 441	. . . . . . . . . 10 |- (((T:X-->Y /\ A e. RR) /\ x e. X) -> (abs` A) e. RR)
54		letr 6695	. . . . . . . . . 10 |- (((M` (T` x)) e. RR /\ (A x. (L` x)) e. RR /\ (abs` A) e. RR) -> (((M` (T` x)) <_ (A x. (L` x)) /\ (A x. (L` x)) <_ (abs` A)) -> (M` (T` x)) <_ (abs` A)))
55	51, 52, 53, 54	syl111anc 1100	. . . . . . . . 9 |- (((T:X-->Y /\ A e. RR) /\ x e. X) -> (((M` (T` x)) <_ (A x. (L` x)) /\ (A x. (L` x)) <_ (abs` A)) -> (M` (T` x)) <_ (abs` A)))
56	55	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((((T:X-->Y /\ A e. RR) /\ x e. X) /\ (L` x) <_ 1) -> (((M` (T` x)) <_ (A x. (L` x)) /\ (A x. (L` x)) <_ (abs` A)) -> (M` (T` x)) <_ (abs` A)))
57	43, 56	mpan2d 766	. . . . . . 7 |- ((((T:X-->Y /\ A e. RR) /\ x e. X) /\ (L` x) <_ 1) -> ((M` (T` x)) <_ (A x. (L` x)) -> (M` (T` x)) <_ (abs` A)))
58	57	ex 402	. . . . . 6 |- (((T:X-->Y /\ A e. RR) /\ x e. X) -> ((L` x) <_ 1 -> ((M` (T` x)) <_ (A x. (L` x)) -> (M` (T` x)) <_ (abs` A))))
59	58	com23 36	. . . . 5 |- (((T:X-->Y /\ A e. RR) /\ x e. X) -> ((M` (T` x)) <_ (A x. (L` x)) -> ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ (abs` A))))
60	59	ralimdvaa 2171	. . . 4 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR) -> (A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (L` x)) -> A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ (abs` A))))
61	60	imp 377	. . 3 |- (((T:X-->Y /\ A e. RR) /\ A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (L` x))) -> A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ (abs` A)))
62		nmoubi.3	. . . . . 6 |- N = (UnormOpW)
63	3, 46, 4, 47, 62, 2, 45	nmoubi 9774	. . . . 5 |- ((T:X-->Y /\ (abs` A) e. RR* /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ (abs` A))) -> (N` T) <_ (abs` A))
64		rexr 6668	. . . . . 6 |- ((abs` A) e. RR -> (abs` A) e. RR*)
65	12, 64	syl 12	. . . . 5 |- (A e. RR -> (abs` A) e. RR*)
66	63, 65	syl3an2 1131	. . . 4 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ (abs` A))) -> (N` T) <_ (abs` A))
67	66	3expa 1067	. . 3 |- (((T:X-->Y /\ A e. RR) /\ A.x e. X ((L` x) <_ 1 -> (M` (T` x)) <_ (abs` A))) -> (N` T) <_ (abs` A))
68	61, 67	syldan 516	. 2 |- (((T:X-->Y /\ A e. RR) /\ A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (L` x))) -> (N` T) <_ (abs` A))
69	68	3impa 1062	1 |- ((T:X-->Y /\ A e. RR /\ A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (L` x))) -> (N` T) <_ (abs` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   <_ cle 6448  RR*cxr 6652  abscabs 8000  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  normcnm 9541  normOpcnmo 9741

This theorem is referenced by:  nmoub2i 9776  isblo3i 9801

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-nmo 9745

Copyright terms: Public domain