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Theorem nmotri 21119
Description: Triangle inequality for the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmotri.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmotri.p  |-  .+  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
nmotri  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  oF  .+  G ) )  <_ 
( ( N `  F )  +  ( N `  G ) ) )

Proof of Theorem nmotri
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmotri.1 . 2  |-  N  =  ( S normOp T )
2 eqid 2443 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2443 . 2  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
4 eqid 2443 . 2  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
5 eqid 2443 . 2  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
6 nghmrcl1 21112 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
763ad2ant2 1019 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
8 nghmrcl2 21113 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
983ad2ant2 1019 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  T  e. NrmGrp )
10 id 22 . . 3  |-  ( T  e.  Abel  ->  T  e. 
Abel )
11 nghmghm 21114 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
12 nghmghm 21114 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
13 nmotri.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  T )
1413ghmplusg 16726 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
1510, 11, 12, 14syl3an 1271 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
161nghmcl 21107 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( N `  F )  e.  RR )
17163ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
181nghmcl 21107 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( N `  G )  e.  RR )
19183ad2ant3 1020 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  G )  e.  RR )
2017, 19readdcld 9626 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  +  ( N `  G
) )  e.  RR )
21113ad2ant2 1019 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
221nmoge0 21101 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
237, 9, 21, 22syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
24123ad2ant3 1020 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
251nmoge0 21101 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  G )
)
267, 9, 24, 25syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  G )
)
2717, 19, 23, 26addge0d 10134 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  (
( N `  F
)  +  ( N `
 G ) ) )
289adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
29 ngpgrp 20992 . . . . . . 7  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  Grp )
3028, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  T  e.  Grp )
3121adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
32 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
332, 32ghmf 16145 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
3431, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
35 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
3634, 35ffvelrnd 6017 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )
3724adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
382, 32ghmf 16145 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
3937, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
4039, 35ffvelrnd 6017 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )
4132, 13grpcl 15937 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Grp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( G `  x )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x
) )  e.  (
Base `  T )
)
4230, 36, 40, 41syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( F `  x
)  .+  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  T
) )
4332, 4nmcl 21008 . . . . 5  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  (
( F `  x
)  .+  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  e.  RR )
4428, 42, 43syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  e.  RR )
4532, 4nmcl 21008 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  e.  RR )
4628, 36, 45syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  e.  RR )
4732, 4nmcl 21008 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  e.  RR )
4828, 40, 47syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  e.  RR )
4946, 48readdcld 9626 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) )  e.  RR )
5017adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
51 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
522, 3nmcl 21008 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
537, 51, 52syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
5450, 53remulcld 9627 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( N `  F
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) )  e.  RR )
5519adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  G )  e.  RR )
5655, 53remulcld 9627 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) )  e.  RR )
5754, 56readdcld 9626 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( N `  F )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  +  ( ( N `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )  e.  RR )
5832, 4, 13nmtri 21018 . . . . 5  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( G `  x )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  <_  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) ) )
5928, 36, 40, 58syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  <_  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) ) )
60 simpl2 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
611, 2, 3, 4nmoi 21108 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  <_  (
( N `  F
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6260, 35, 61syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  <_  (
( N `  F
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
63 simpl3 1002 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G  e.  ( S NGHom  T ) )
641, 2, 3, 4nmoi 21108 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  <_  (
( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6563, 35, 64syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  <_  (
( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6646, 48, 54, 56, 62, 65le2addd 10176 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) )  <_  ( ( ( N `  F )  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) )  +  ( ( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
6744, 49, 57, 59, 66letrd 9742 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  <_  (
( ( N `  F )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  +  ( ( N `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) ) )
68 ffn 5721 . . . . . 6  |-  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
6934, 68syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F  Fn  ( Base `  S
) )
70 ffn 5721 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  G  Fn  ( Base `  S )
)
7139, 70syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G  Fn  ( Base `  S
) )
72 fvex 5866 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  e.  _V
7372a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( Base `  S )  e. 
_V )
74 fnfvof 6538 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  ( Base `  S )  /\  G  Fn  ( Base `  S ) )  /\  ( ( Base `  S
)  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( F  oF  .+  G
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) ) )
7569, 71, 73, 35, 74syl22anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( F  oF  .+  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  .+  ( G `  x ) ) )
7675fveq2d 5860 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F  oF  .+  G ) `  x ) )  =  ( ( norm `  T
) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x
) ) ) )
7750recnd 9625 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  F )  e.  CC )
7855recnd 9625 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  G )  e.  CC )
7953recnd 9625 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  CC )
8077, 78, 79adddird 9624 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( N `  F )  +  ( N `  G ) )  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) )  =  ( ( ( N `
 F )  x.  ( ( norm `  S
) `  x )
)  +  ( ( N `  G )  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) ) ) )
8167, 76, 803brtr4d 4467 . 2  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F  oF  .+  G ) `  x ) )  <_ 
( ( ( N `
 F )  +  ( N `  G
) )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )
821, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 15, 20, 27, 81nmolb2d 21098 1  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  oF  .+  G ) )  <_ 
( ( N `  F )  +  ( N `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   _Vcvv 3095   class class class wbr 4437    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523   RRcr 9494   0cc0 9495    + caddc 9498    x. cmul 9500    <_ cle 9632   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   0gc0g 14714   Grpcgrp 15927    GrpHom cghm 16138   Abelcabl 16673   normcnm 20970  NrmGrpcngp 20971   normOpcnmo 21085   NGHom cnghm 21086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ico 11544  df-0g 14716  df-topgen 14718  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-ghm 16139  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-xms 20696  df-ms 20697  df-nm 20976  df-ngp 20977  df-nmo 21088  df-nghm 21089
This theorem is referenced by:  nghmplusg  21120
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