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Theorem nmotri 20330
Description: Triangle inequality for the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmotri.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmotri.p  |-  .+  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
nmotri  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  oF  .+  G ) )  <_ 
( ( N `  F )  +  ( N `  G ) ) )

Proof of Theorem nmotri
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmotri.1 . 2  |-  N  =  ( S normOp T )
2 eqid 2443 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2443 . 2  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
4 eqid 2443 . 2  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
5 eqid 2443 . 2  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
6 nghmrcl1 20323 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
763ad2ant2 1010 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
8 nghmrcl2 20324 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
983ad2ant2 1010 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  T  e. NrmGrp )
10 id 22 . . 3  |-  ( T  e.  Abel  ->  T  e. 
Abel )
11 nghmghm 20325 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
12 nghmghm 20325 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
13 nmotri.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  T )
1413ghmplusg 16340 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
1510, 11, 12, 14syl3an 1260 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
161nghmcl 20318 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( N `  F )  e.  RR )
17163ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
181nghmcl 20318 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( N `  G )  e.  RR )
19183ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  G )  e.  RR )
2017, 19readdcld 9425 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  +  ( N `  G
) )  e.  RR )
21113ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
221nmoge0 20312 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
237, 9, 21, 22syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
24123ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
251nmoge0 20312 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  G )
)
267, 9, 24, 25syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  G )
)
2717, 19, 23, 26addge0d 9927 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  (
( N `  F
)  +  ( N `
 G ) ) )
289adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
29 ngpgrp 20203 . . . . . . 7  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  Grp )
3028, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  T  e.  Grp )
3121adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
32 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
332, 32ghmf 15763 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
3431, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
35 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
3634, 35ffvelrnd 5856 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )
3724adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
382, 32ghmf 15763 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
3937, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
4039, 35ffvelrnd 5856 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )
4132, 13grpcl 15563 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Grp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( G `  x )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x
) )  e.  (
Base `  T )
)
4230, 36, 40, 41syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( F `  x
)  .+  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  T
) )
4332, 4nmcl 20219 . . . . 5  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  (
( F `  x
)  .+  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  e.  RR )
4428, 42, 43syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  e.  RR )
4532, 4nmcl 20219 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  e.  RR )
4628, 36, 45syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  e.  RR )
4732, 4nmcl 20219 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  e.  RR )
4828, 40, 47syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  e.  RR )
4946, 48readdcld 9425 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) )  e.  RR )
5017adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
51 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
522, 3nmcl 20219 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
537, 51, 52syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
5450, 53remulcld 9426 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( N `  F
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) )  e.  RR )
5519adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  G )  e.  RR )
5655, 53remulcld 9426 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) )  e.  RR )
5754, 56readdcld 9425 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( N `  F )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  +  ( ( N `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )  e.  RR )
5832, 4, 13nmtri 20229 . . . . 5  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( G `  x )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  <_  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) ) )
5928, 36, 40, 58syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  <_  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) ) )
60 simpl2 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
611, 2, 3, 4nmoi 20319 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  <_  (
( N `  F
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6260, 35, 61syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  <_  (
( N `  F
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
63 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G  e.  ( S NGHom  T ) )
641, 2, 3, 4nmoi 20319 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  <_  (
( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6563, 35, 64syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  <_  (
( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6646, 48, 54, 56, 62, 65le2addd 9969 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) )  <_  ( ( ( N `  F )  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) )  +  ( ( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
6744, 49, 57, 59, 66letrd 9540 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  <_  (
( ( N `  F )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  +  ( ( N `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) ) )
68 ffn 5571 . . . . . 6  |-  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
6934, 68syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F  Fn  ( Base `  S
) )
70 ffn 5571 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  G  Fn  ( Base `  S )
)
7139, 70syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G  Fn  ( Base `  S
) )
72 fvex 5713 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  e.  _V
7372a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( Base `  S )  e. 
_V )
74 fnfvof 6345 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  ( Base `  S )  /\  G  Fn  ( Base `  S ) )  /\  ( ( Base `  S
)  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( F  oF  .+  G
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) ) )
7569, 71, 73, 35, 74syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( F  oF  .+  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  .+  ( G `  x ) ) )
7675fveq2d 5707 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F  oF  .+  G ) `  x ) )  =  ( ( norm `  T
) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x
) ) ) )
7750recnd 9424 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  F )  e.  CC )
7855recnd 9424 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  G )  e.  CC )
7953recnd 9424 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  CC )
8077, 78, 79adddird 9423 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( N `  F )  +  ( N `  G ) )  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) )  =  ( ( ( N `
 F )  x.  ( ( norm `  S
) `  x )
)  +  ( ( N `  G )  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) ) ) )
8167, 76, 803brtr4d 4334 . 2  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F  oF  .+  G ) `  x ) )  <_ 
( ( ( N `
 F )  +  ( N `  G
) )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )
821, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 15, 20, 27, 81nmolb2d 20309 1  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  oF  .+  G ) )  <_ 
( ( N `  F )  +  ( N `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   _Vcvv 2984   class class class wbr 4304    Fn wfn 5425   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    oFcof 6330   RRcr 9293   0cc0 9294    + caddc 9297    x. cmul 9299    <_ cle 9431   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   0gc0g 14390   Grpcgrp 15422    GrpHom cghm 15756   Abelcabel 16290   normcnm 20181  NrmGrpcngp 20182   normOpcnmo 20296   NGHom cnghm 20297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ico 11318  df-0g 14392  df-topgen 14394  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-ghm 15757  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-xms 19907  df-ms 19908  df-nm 20187  df-ngp 20188  df-nmo 20299  df-nghm 20300
This theorem is referenced by:  nghmplusg  20331
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