Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmotri Structured version   Unicode version

Theorem nmotri 21119
 Description: Triangle inequality for the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmotri.1
nmotri.p
Assertion
Ref Expression
nmotri NGHom NGHom

Proof of Theorem nmotri
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmotri.1 . 2
2 eqid 2443 . 2
3 eqid 2443 . 2
4 eqid 2443 . 2
5 eqid 2443 . 2
6 nghmrcl1 21112 . . 3 NGHom NrmGrp
763ad2ant2 1019 . 2 NGHom NGHom NrmGrp
8 nghmrcl2 21113 . . 3 NGHom NrmGrp
983ad2ant2 1019 . 2 NGHom NGHom NrmGrp
10 id 22 . . 3
11 nghmghm 21114 . . 3 NGHom
12 nghmghm 21114 . . 3 NGHom
13 nmotri.p . . . 4
1413ghmplusg 16726 . . 3
1510, 11, 12, 14syl3an 1271 . 2 NGHom NGHom
161nghmcl 21107 . . . 4 NGHom
17163ad2ant2 1019 . . 3 NGHom NGHom
181nghmcl 21107 . . . 4 NGHom
19183ad2ant3 1020 . . 3 NGHom NGHom
2017, 19readdcld 9626 . 2 NGHom NGHom
21113ad2ant2 1019 . . . 4 NGHom NGHom
221nmoge0 21101 . . . 4 NrmGrp NrmGrp
237, 9, 21, 22syl3anc 1229 . . 3 NGHom NGHom
24123ad2ant3 1020 . . . 4 NGHom NGHom
251nmoge0 21101 . . . 4 NrmGrp NrmGrp
267, 9, 24, 25syl3anc 1229 . . 3 NGHom NGHom
2717, 19, 23, 26addge0d 10134 . 2 NGHom NGHom
289adantr 465 . . . . 5 NGHom NGHom NrmGrp
29 ngpgrp 20992 . . . . . . 7 NrmGrp
3028, 29syl 16 . . . . . 6 NGHom NGHom
3121adantr 465 . . . . . . . 8 NGHom NGHom
32 eqid 2443 . . . . . . . . 9
332, 32ghmf 16145 . . . . . . . 8
3431, 33syl 16 . . . . . . 7 NGHom NGHom
35 simprl 756 . . . . . . 7 NGHom NGHom
3634, 35ffvelrnd 6017 . . . . . 6 NGHom NGHom
3724adantr 465 . . . . . . . 8 NGHom NGHom
382, 32ghmf 16145 . . . . . . . 8
3937, 38syl 16 . . . . . . 7 NGHom NGHom
4039, 35ffvelrnd 6017 . . . . . 6 NGHom NGHom
4132, 13grpcl 15937 . . . . . 6
4230, 36, 40, 41syl3anc 1229 . . . . 5 NGHom NGHom
4332, 4nmcl 21008 . . . . 5 NrmGrp
4428, 42, 43syl2anc 661 . . . 4 NGHom NGHom
4532, 4nmcl 21008 . . . . . 6 NrmGrp
4628, 36, 45syl2anc 661 . . . . 5 NGHom NGHom
4732, 4nmcl 21008 . . . . . 6 NrmGrp
4828, 40, 47syl2anc 661 . . . . 5 NGHom NGHom
4946, 48readdcld 9626 . . . 4 NGHom NGHom
5017adantr 465 . . . . . 6 NGHom NGHom
51 simpl 457 . . . . . . 7
522, 3nmcl 21008 . . . . . . 7 NrmGrp
537, 51, 52syl2an 477 . . . . . 6 NGHom NGHom
5450, 53remulcld 9627 . . . . 5 NGHom NGHom
5519adantr 465 . . . . . 6 NGHom NGHom
5655, 53remulcld 9627 . . . . 5 NGHom NGHom
5754, 56readdcld 9626 . . . 4 NGHom NGHom
5832, 4, 13nmtri 21018 . . . . 5 NrmGrp
5928, 36, 40, 58syl3anc 1229 . . . 4 NGHom NGHom
60 simpl2 1001 . . . . . 6 NGHom NGHom NGHom
611, 2, 3, 4nmoi 21108 . . . . . 6 NGHom
6260, 35, 61syl2anc 661 . . . . 5 NGHom NGHom
63 simpl3 1002 . . . . . 6 NGHom NGHom NGHom
641, 2, 3, 4nmoi 21108 . . . . . 6 NGHom
6563, 35, 64syl2anc 661 . . . . 5 NGHom NGHom
6646, 48, 54, 56, 62, 65le2addd 10176 . . . 4 NGHom NGHom
6744, 49, 57, 59, 66letrd 9742 . . 3 NGHom NGHom
68 ffn 5721 . . . . . 6
6934, 68syl 16 . . . . 5 NGHom NGHom
70 ffn 5721 . . . . . 6
7139, 70syl 16 . . . . 5 NGHom NGHom
72 fvex 5866 . . . . . 6
7372a1i 11 . . . . 5 NGHom NGHom
74 fnfvof 6538 . . . . 5
7569, 71, 73, 35, 74syl22anc 1230 . . . 4 NGHom NGHom
7675fveq2d 5860 . . 3 NGHom NGHom
7750recnd 9625 . . . 4 NGHom NGHom
7855recnd 9625 . . . 4 NGHom NGHom
7953recnd 9625 . . . 4 NGHom NGHom
8077, 78, 79adddird 9624 . . 3 NGHom NGHom
8167, 76, 803brtr4d 4467 . 2 NGHom NGHom
821, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 15, 20, 27, 81nmolb2d 21098 1 NGHom NGHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  cvv 3095   class class class wbr 4437   wfn 5573  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281   cof 6523  cr 9494  cc0 9495   caddc 9498   cmul 9500   cle 9632  cbs 14509   cplusg 14574  c0g 14714  cgrp 15927   cghm 16138  cabl 16673  cnm 20970  NrmGrpcngp 20971  cnmo 21085   NGHom cnghm 21086 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ico 11544  df-0g 14716  df-topgen 14718  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-ghm 16139  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-xms 20696  df-ms 20697  df-nm 20976  df-ngp 20977  df-nmo 21088  df-nghm 21089 This theorem is referenced by:  nghmplusg  21120
 Copyright terms: Public domain W3C validator