Theorem nmosetre 9766

Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmo 9745 is a set of reals.

Hypotheses

Ref	Expression
nmosetre.2	|- Y = (BaseSet` W)
nmosetre.4	|- N = (norm` W)

Assertion

Ref	Expression
nmosetre	|- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {x | E.z e. X ((M` z) <_ 1 /\ x = (N` (T` z)))} C_ RR)

Distinct variable groups:   x,z,T   x,W,z   x,X,z   x,Y,z

Proof of Theorem nmosetre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1957	. . . . . . 7 |- (x = (N` (T` z)) -> (x e. RR <-> (N` (T` z)) e. RR))
2		nmosetre.2	. . . . . . . . . 10 |- Y = (BaseSet` W)
3		nmosetre.4	. . . . . . . . . 10 |- N = (norm` W)
4	2, 3	nvcl 9619	. . . . . . . . 9 |- ((W e. NrmCVec /\ (T` z) e. Y) -> (N` (T` z)) e. RR)
5		ffvelrn 4787	. . . . . . . . 9 |- ((T:X-->Y /\ z e. X) -> (T` z) e. Y)
6	4, 5	sylan2 500	. . . . . . . 8 |- ((W e. NrmCVec /\ (T:X-->Y /\ z e. X)) -> (N` (T` z)) e. RR)
7	6	anassrs 489	. . . . . . 7 |- (((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ z e. X) -> (N` (T` z)) e. RR)
8	1, 7	syl5bir 227	. . . . . 6 |- (x = (N` (T` z)) -> (((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ z e. X) -> x e. RR))
9	8	impcom 378	. . . . 5 |- ((((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ z e. X) /\ x = (N` (T` z))) -> x e. RR)
10	9	adantrl 430	. . . 4 |- ((((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ z e. X) /\ ((M` z) <_ 1 /\ x = (N` (T` z)))) -> x e. RR)
11	10	exp31 407	. . 3 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (z e. X -> (((M` z) <_ 1 /\ x = (N` (T` z))) -> x e. RR)))
12	11	r19.23adv 2215	. 2 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (E.z e. X ((M` z) <_ 1 /\ x = (N` (T` z))) -> x e. RR))
13	12	abssdv 2681	1 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {x | E.z e. X ((M` z) <_ 1 /\ x = (N` (T` z)))} C_ RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  RRcr 6385  1c1 6387   <_ cle 6448  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  normcnm 9541

This theorem is referenced by:  nmoxr 9768  nmoge0 9769  nmorepnf 9770  nmolb 9773  nmoubi 9774  nmlno0lem 9793  nmopsetretHIL 11428

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-gid 9317  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551

Copyright terms: Public domain