MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmosetn0 Structured version   Unicode version

Theorem nmosetn0 25511
Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 25491 is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmosetn0.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmosetn0.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
nmosetn0.4  |-  M  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nmosetn0  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( T `  Z ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y ) ) ) } )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, N, y    x, T, y    x, X, y   
x, Z, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)

Proof of Theorem nmosetn0
StepHypRef Expression
1 nmosetn0.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nmosetn0.5 . . . 4  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
31, 2nvzcl 25360 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Z  e.  X
)
4 nmosetn0.4 . . . . . 6  |-  M  =  ( normCV `  U )
52, 4nvz0 25402 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( M `  Z )  =  0 )
6 0le1 10088 . . . . 5  |-  0  <_  1
75, 6syl6eqbr 4490 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( M `  Z )  <_  1
)
8 eqid 2467 . . . 4  |-  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  Z )
)
97, 8jctir 538 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( ( M `
 Z )  <_ 
1  /\  ( N `  ( T `  Z
) )  =  ( N `  ( T `
 Z ) ) ) )
10 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( y  =  Z  ->  ( M `  y )  =  ( M `  Z ) )
1110breq1d 4463 . . . . 5  |-  ( y  =  Z  ->  (
( M `  y
)  <_  1  <->  ( M `  Z )  <_  1
) )
12 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Z  ->  ( T `  y )  =  ( T `  Z ) )
1312fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( y  =  Z  ->  ( N `  ( T `  y ) )  =  ( N `  ( T `  Z )
) )
1413eqeq2d 2481 . . . . 5  |-  ( y  =  Z  ->  (
( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) )  <->  ( N `  ( T `  Z
) )  =  ( N `  ( T `
 Z ) ) ) )
1511, 14anbi12d 710 . . . 4  |-  ( y  =  Z  ->  (
( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( M `  Z )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  Z ) ) ) ) )
1615rspcev 3219 . . 3  |-  ( ( Z  e.  X  /\  ( ( M `  Z )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  Z ) ) ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  y )
) ) )
173, 9, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) ) ) )
18 fvex 5882 . . 3  |-  ( N `
 ( T `  Z ) )  e. 
_V
19 eqeq1 2471 . . . . 5  |-  ( x  =  ( N `  ( T `  Z ) )  ->  ( x  =  ( N `  ( T `  y ) )  <->  ( N `  ( T `  Z ) )  =  ( N `
 ( T `  y ) ) ) )
2019anbi2d 703 . . . 4  |-  ( x  =  ( N `  ( T `  Z ) )  ->  ( (
( M `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  y )
) ) ) )
2120rexbidv 2978 . . 3  |-  ( x  =  ( N `  ( T `  Z ) )  ->  ( E. y  e.  X  (
( M `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  y )
) ) ) )
2218, 21elab 3255 . 2  |-  ( ( N `  ( T `
 Z ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) ) ) )
2317, 22sylibr 212 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( T `  Z ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   ` cfv 5594   0cc0 9504   1c1 9505    <_ cle 9641   NrmCVeccnv 25308   BaseSetcba 25310   0veccn0v 25312   normCVcnmcv 25314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-grpo 25024  df-gid 25025  df-ginv 25026  df-ablo 25115  df-vc 25270  df-nv 25316  df-va 25319  df-ba 25320  df-sm 25321  df-0v 25322  df-nmcv 25324
This theorem is referenced by:  nmooge0  25513  nmorepnf  25514
  Copyright terms: Public domain W3C validator