MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmosetn0 Structured version   Unicode version

Theorem nmosetn0 24165
Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 24145 is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmosetn0.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmosetn0.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
nmosetn0.4  |-  M  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nmosetn0  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( T `  Z ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y ) ) ) } )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, N, y    x, T, y    x, X, y   
x, Z, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)

Proof of Theorem nmosetn0
StepHypRef Expression
1 nmosetn0.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nmosetn0.5 . . . 4  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
31, 2nvzcl 24014 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Z  e.  X
)
4 nmosetn0.4 . . . . . 6  |-  M  =  ( normCV `  U )
52, 4nvz0 24056 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( M `  Z )  =  0 )
6 0le1 9863 . . . . 5  |-  0  <_  1
75, 6syl6eqbr 4329 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( M `  Z )  <_  1
)
8 eqid 2443 . . . 4  |-  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  Z )
)
97, 8jctir 538 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( ( M `
 Z )  <_ 
1  /\  ( N `  ( T `  Z
) )  =  ( N `  ( T `
 Z ) ) ) )
10 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( y  =  Z  ->  ( M `  y )  =  ( M `  Z ) )
1110breq1d 4302 . . . . 5  |-  ( y  =  Z  ->  (
( M `  y
)  <_  1  <->  ( M `  Z )  <_  1
) )
12 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Z  ->  ( T `  y )  =  ( T `  Z ) )
1312fveq2d 5695 . . . . . 6  |-  ( y  =  Z  ->  ( N `  ( T `  y ) )  =  ( N `  ( T `  Z )
) )
1413eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( y  =  Z  ->  (
( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) )  <->  ( N `  ( T `  Z
) )  =  ( N `  ( T `
 Z ) ) ) )
1511, 14anbi12d 710 . . . 4  |-  ( y  =  Z  ->  (
( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( M `  Z )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  Z ) ) ) ) )
1615rspcev 3073 . . 3  |-  ( ( Z  e.  X  /\  ( ( M `  Z )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  Z ) ) ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  y )
) ) )
173, 9, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) ) ) )
18 fvex 5701 . . 3  |-  ( N `
 ( T `  Z ) )  e. 
_V
19 eqeq1 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  ( N `  ( T `  Z ) )  ->  ( x  =  ( N `  ( T `  y ) )  <->  ( N `  ( T `  Z ) )  =  ( N `
 ( T `  y ) ) ) )
2019anbi2d 703 . . . 4  |-  ( x  =  ( N `  ( T `  Z ) )  ->  ( (
( M `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  y )
) ) ) )
2120rexbidv 2736 . . 3  |-  ( x  =  ( N `  ( T `  Z ) )  ->  ( E. y  e.  X  (
( M `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  y )
) ) ) )
2218, 21elab 3106 . 2  |-  ( ( N `  ( T `
 Z ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) ) ) )
2317, 22sylibr 212 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( T `  Z ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   E.wrex 2716   class class class wbr 4292   ` cfv 5418   0cc0 9282   1c1 9283    <_ cle 9419   NrmCVeccnv 23962   BaseSetcba 23964   0veccn0v 23966   normCVcnmcv 23968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ginv 23680  df-ablo 23769  df-vc 23924  df-nv 23970  df-va 23973  df-ba 23974  df-sm 23975  df-0v 23976  df-nmcv 23978
This theorem is referenced by:  nmooge0  24167  nmorepnf  24168
  Copyright terms: Public domain W3C validator