HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopval Unicode version

Theorem nmopval 22266
Description: Value of the norm of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopval  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem nmopval
StepHypRef Expression
1 xrltso 10354 . . 3  |-  <  Or  RR*
21supex 7098 . 2  |-  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  e.  _V
3 ax-hilex 21409 . 2  |-  ~H  e.  _V
4 fveq1 5376 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  (
t `  y )  =  ( T `  y ) )
54fveq2d 5381 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  ( normh `  ( t `  y ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
65eqeq2d 2264 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  (
x  =  ( normh `  ( t `  y
) )  <->  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
76anbi2d 687 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( t `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
87rexbidv 2528 . . . 4  |-  ( t  =  T  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( t `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
98abbidv 2363 . . 3  |-  ( t  =  T  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( t `  y
) ) ) }  =  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } )
109supeq1d 7083 . 2  |-  ( t  =  T  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( t `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
11 df-nmop 22249 . 2  |-  normop  =  ( t  e.  ( ~H 
^m  ~H )  |->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( t `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
122, 3, 3, 10, 11fvmptmap 6690 1  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619   {cab 2239   E.wrex 2510   class class class wbr 3920   -->wf 4588   ` cfv 4592   supcsup 7077   1c1 8618   RR*cxr 8746    < clt 8747    <_ cle 8748   ~Hchil 21329   normhcno 21333   normopcnop 21355
This theorem is referenced by:  nmopxr  22276  nmoprepnf  22277  nmoplb  22317  nmopub  22318  nmopnegi  22375  nmop0  22396  nmlnop0iALT  22405  nmopun  22424  nmcopexi  22437  pjnmopi  22558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-hilex 21409
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-nmop 22249
  Copyright terms: Public domain W3C validator