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Theorem nmopun 25418
Description: Norm of a unitary Hilbert space operator. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopun  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( normop `  T )  =  1 )

Proof of Theorem nmopun
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 25324 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  LinOp
)
2 lnopf 25263 . . . . 5  |-  ( T  e.  LinOp  ->  T : ~H
--> ~H )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
--> ~H )
4 nmopval 25260 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  ( normop `  T
)  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
65adantl 466 . 2  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
7 nmopsetretHIL 25268 . . . . . . 7  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
8 ressxr 9427 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
97, 8syl6ss 3368 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
103, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
12 1re 9385 . . . . 5  |-  1  e.  RR
1312rexri 9436 . . . 4  |-  1  e.  RR*
1411, 13jctir 538 . . 3  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* ) )
15 vex 2975 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
16 eqeq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( normh `  ( T `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
1716anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2736 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1915, 18elab 3106 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
20 unopnorm 25321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
2120eqeq2d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
z  =  ( normh `  ( T `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  y )
) )
2221anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  y )
) ) )
23 breq1 4295 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( z  <_  1  <->  ( normh `  y
)  <_  1 ) )
2423biimparc 487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  y )
)  ->  z  <_  1 )
2522, 24syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 ) )
2625rexlimdva 2841 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  UniOp  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  ->  z  <_  1
) )
2726imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )  ->  z  <_  1 )
2819, 27sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )  ->  z  <_  1 )
2928ralrimiva 2799 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <_  1
)
3029adantl 466 . . 3  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } z  <_  1 )
31 hne0 24950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~H  =/=  0H  <->  E. y  e.  ~H  y  =/=  0h )
32 norm1hex 24654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ~H  y  =/=  0h  <->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  =  1 )
3331, 32sylbb 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y
)  =  1 )
3433adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  =  1 )
35 1le1 9964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <_  1
36 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  <->  1  <_  1
) )
3735, 36mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( normh `  y )  <_  1
)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  ( normh `  y )  <_ 
1 ) )
3920adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
40 eqeq2 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )  <->  (
normh `  ( T `  y ) )  =  1 ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )  <->  ( normh `  ( T `  y
) )  =  1 ) )
4239, 41mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( T `  y ) )  =  1 )
4342eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )
4443ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  1  =  ( normh `  ( T `  y )
) ) )
4538, 44jcad 533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  (
( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
4645adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) ) )
4746reximdva 2828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( E. y  e. 
~H  ( normh `  y
)  =  1  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) ) )
4834, 47mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
49 1ex 9381 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
50 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( normh `  ( T `  y
) )  <->  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
5150anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
5251rexbidv 2736 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
5349, 52elab 3106 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
5448, 53sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } )
5554adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  /\  z  e.  RR )  ->  1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } )
56 breq2 4296 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
z  <  w  <->  z  <  1 ) )
5756rspcev 3073 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
)
5855, 57sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ~H  =/=  0H 
/\  T  e.  UniOp )  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
)
5958ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
) )
6059ralrimiva 2799 . . 3  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
) )
61 supxr2 11276 . . 3  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6214, 30, 60, 61syl12anc 1216 . 2  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
636, 62eqtrd 2475 1  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( normop `  T )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716    C_ wss 3328   class class class wbr 4292   -->wf 5414   ` cfv 5418   supcsup 7690   RRcr 9281   1c1 9283   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419   ~Hchil 24321   normhcno 24325   0hc0v 24326   0Hc0h 24337   normopcnop 24347   LinOpclo 24349   UniOpcuo 24351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-hilex 24401  ax-hfvadd 24402  ax-hvcom 24403  ax-hvass 24404  ax-hv0cl 24405  ax-hvaddid 24406  ax-hfvmul 24407  ax-hvmulid 24408  ax-hvmulass 24409  ax-hvdistr1 24410  ax-hvdistr2 24411  ax-hvmul0 24412  ax-hfi 24481  ax-his1 24484  ax-his2 24485  ax-his3 24486  ax-his4 24487
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ablo 23769  df-vc 23924  df-nv 23970  df-va 23973  df-ba 23974  df-sm 23975  df-0v 23976  df-nmcv 23978  df-hnorm 24370  df-hba 24371  df-hvsub 24373  df-hlim 24374  df-sh 24609  df-ch 24624  df-ch0 24656  df-nmop 25243  df-lnop 25245  df-unop 25247
This theorem is referenced by:  unopbd  25419  unierri  25508
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