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Theorem nmopun 27060
Description: Norm of a unitary Hilbert space operator. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopun  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( normop `  T )  =  1 )

Proof of Theorem nmopun
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 26966 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  LinOp
)
2 lnopf 26905 . . . . 5  |-  ( T  e.  LinOp  ->  T : ~H
--> ~H )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
--> ~H )
4 nmopval 26902 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  ( normop `  T
)  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
65adantl 466 . 2  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
7 nmopsetretHIL 26910 . . . . . . 7  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
8 ressxr 9654 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
97, 8syl6ss 3511 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
103, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
12 1re 9612 . . . . 5  |-  1  e.  RR
1312rexri 9663 . . . 4  |-  1  e.  RR*
1411, 13jctir 538 . . 3  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* ) )
15 vex 3112 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
16 eqeq1 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( normh `  ( T `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
1716anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2968 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1915, 18elab 3246 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
20 unopnorm 26963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
2120eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
z  =  ( normh `  ( T `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  y )
) )
2221anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  y )
) ) )
23 breq1 4459 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( z  <_  1  <->  ( normh `  y
)  <_  1 ) )
2423biimparc 487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  y )
)  ->  z  <_  1 )
2522, 24syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 ) )
2625rexlimdva 2949 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  UniOp  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  ->  z  <_  1
) )
2726imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )  ->  z  <_  1 )
2819, 27sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )  ->  z  <_  1 )
2928ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <_  1
)
3029adantl 466 . . 3  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } z  <_  1 )
31 hne0 26592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~H  =/=  0H  <->  E. y  e.  ~H  y  =/=  0h )
32 norm1hex 26296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ~H  y  =/=  0h  <->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  =  1 )
3331, 32sylbb 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y
)  =  1 )
3433adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  =  1 )
35 1le1 10198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <_  1
36 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  <->  1  <_  1
) )
3735, 36mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( normh `  y )  <_  1
)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  ( normh `  y )  <_ 
1 ) )
3920adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
40 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )  <->  (
normh `  ( T `  y ) )  =  1 ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )  <->  ( normh `  ( T `  y
) )  =  1 ) )
4239, 41mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( T `  y ) )  =  1 )
4342eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )
4443ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  1  =  ( normh `  ( T `  y )
) ) )
4538, 44jcad 533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  (
( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
4645adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) ) )
4746reximdva 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( E. y  e. 
~H  ( normh `  y
)  =  1  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) ) )
4834, 47mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
49 1ex 9608 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
50 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( normh `  ( T `  y
) )  <->  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
5150anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
5251rexbidv 2968 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
5349, 52elab 3246 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
5448, 53sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } )
5554adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  /\  z  e.  RR )  ->  1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } )
56 breq2 4460 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
z  <  w  <->  z  <  1 ) )
5756rspcev 3210 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
)
5855, 57sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ~H  =/=  0H 
/\  T  e.  UniOp )  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
)
5958ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
) )
6059ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
) )
61 supxr2 11530 . . 3  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6214, 30, 60, 61syl12anc 1226 . 2  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
636, 62eqtrd 2498 1  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( normop `  T )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594   supcsup 7918   RRcr 9508   1c1 9510   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   ~Hchil 25963   normhcno 25967   0hc0v 25968   0Hc0h 25979   normopcnop 25989   LinOpclo 25991   UniOpcuo 25993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-hilex 26043  ax-hfvadd 26044  ax-hvcom 26045  ax-hvass 26046  ax-hv0cl 26047  ax-hvaddid 26048  ax-hfvmul 26049  ax-hvmulid 26050  ax-hvmulass 26051  ax-hvdistr1 26052  ax-hvdistr2 26053  ax-hvmul0 26054  ax-hfi 26123  ax-his1 26126  ax-his2 26127  ax-his3 26128  ax-his4 26129
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-nmcv 25620  df-hnorm 26012  df-hba 26013  df-hvsub 26015  df-hlim 26016  df-sh 26251  df-ch 26266  df-ch0 26298  df-nmop 26885  df-lnop 26887  df-unop 26889
This theorem is referenced by:  unopbd  27061  unierri  27150
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