Theorem nmopun 11576

Description: Norm of a unitary Hilbert space operator.

Assertion

Ref	Expression
nmopun	|- ((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) -> (normop` T) = 1)

Proof of Theorem nmopun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unoplin 11481	. . . . 5 |- (T e. UniOp -> T e. LinOp)
2		lnopf 11422	. . . . 5 |- (T e. LinOp -> T:~H-->~H)
3	1, 2	syl 12	. . . 4 |- (T e. UniOp -> T:~H-->~H)
4		nmopval 11419	. . . 4 |- (T:~H-->~H -> (normop` T) = sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))}, RR*, < ))
5	3, 4	syl 12	. . 3 |- (T e. UniOp -> (normop` T) = sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))}, RR*, < ))
6	5	adantl 424	. 2 |- ((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) -> (normop` T) = sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))}, RR*, < ))
7		nmopsetretHIL 11428	. . . . . . 7 |- (T:~H-->~H -> {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))} C_ RR)
8		ressxr 6667	. . . . . . . 8 |- RR C_ RR*
9	8	a1i 8	. . . . . . 7 |- (T:~H-->~H -> RR C_ RR*)
10	7, 9	sstrd 2627	. . . . . 6 |- (T:~H-->~H -> {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))} C_ RR*)
11	3, 10	syl 12	. . . . 5 |- (T e. UniOp -> {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))} C_ RR*)
12	11	adantl 424	. . . 4 |- ((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) -> {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))} C_ RR*)
13		1re 6598	. . . . 5 |- 1 e. RR
14		rexr 6668	. . . . 5 |- (1 e. RR -> 1 e. RR*)
15	13, 14	ax-mp 7	. . . 4 |- 1 e. RR*
16	12, 15	jctir 317	. . 3 |- ((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) -> ({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))} C_ RR* /\ 1 e. RR*))
17		unopnorm 11478	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. UniOp /\ y e. ~H) -> (normh` (T` y)) = (normh` y))
18	17	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. UniOp /\ y e. ~H) -> (z = (normh` (T` y)) <-> z = (normh` y)))
19	18	anbi2d 678	. . . . . . . . 9 |- ((T e. UniOp /\ y e. ~H) -> (((normh` y) <_ 1 /\ z = (normh` (T` y))) <-> ((normh` y) <_ 1 /\ z = (normh` y))))
20		breq1 3341	. . . . . . . . . 10 |- (z = (normh` y) -> (z <_ 1 <-> (normh` y) <_ 1))
21	20	biimparc 463	. . . . . . . . 9 |- (((normh` y) <_ 1 /\ z = (normh` y)) -> z <_ 1)
22	19, 21	syl6bi 231	. . . . . . . 8 |- ((T e. UniOp /\ y e. ~H) -> (((normh` y) <_ 1 /\ z = (normh` (T` y))) -> z <_ 1))
23	22	r19.23adva 2216	. . . . . . 7 |- (T e. UniOp -> (E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ z = (normh` (T` y))) -> z <_ 1))
24	23	imp 377	. . . . . 6 |- ((T e. UniOp /\ E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ z = (normh` (T` y)))) -> z <_ 1)
25		visset 2295	. . . . . . 7 |- z e. _V
26		eqeq1 1890	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> (x = (normh` (T` y)) <-> z = (normh` (T` y))))
27	26	anbi2d 678	. . . . . . . 8 |- (x = z -> (((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y))) <-> ((normh` y) <_ 1 /\ z = (normh` (T` y)))))
28	27	rexbidv 2124	. . . . . . 7 |- (x = z -> (E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y))) <-> E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ z = (normh` (T` y)))))
29	25, 28	elab 2403	. . . . . 6 |- (z e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))} <-> E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ z = (normh` (T` y))))
30	24, 29	sylan2b 501	. . . . 5 |- ((T e. UniOp /\ z e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))}) -> z <_ 1)
31	30	r19.21aiva 2176	. . . 4 |- (T e. UniOp -> A.z e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))}z <_ 1)
32	31	adantl 424	. . 3 |- ((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) -> A.z e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))}z <_ 1)
33		breq2 3342	. . . . . . 7 |- (w = 1 -> (z < w <-> z < 1))
34	33	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- ((1 e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))} /\ z < 1) -> E.w e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))}z < w)
35		hne0 11103	. . . . . . . . . . . 12 |- (~H =/= 0H <-> E.y e. ~H y =/= 0h)
36		norm1hex 10756	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.y e. ~H y =/= 0h <-> E.y e. ~H (normh` y) = 1)
37	35, 36	bitri 190	. . . . . . . . . . 11 |- (~H =/= 0H <-> E.y e. ~H (normh` y) = 1)
38	37	biimpi 168	. . . . . . . . . 10 |- (~H =/= 0H -> E.y e. ~H (normh` y) = 1)
39	38	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) -> E.y e. ~H (normh` y) = 1)
40	13	leidi 6790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 <_ 1
41		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((normh` y) = 1 -> ((normh` y) <_ 1 <-> 1 <_ 1))
42	40, 41	mpbiri 211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((normh` y) = 1 -> (normh` y) <_ 1)
43	42	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. UniOp /\ y e. ~H) -> ((normh` y) = 1 -> (normh` y) <_ 1))
44	17	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((T e. UniOp /\ y e. ~H) /\ (normh` y) = 1) -> (normh` (T` y)) = (normh` y))
45		eqeq2 1893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((normh` y) = 1 -> ((normh` (T` y)) = (normh` y) <-> (normh` (T` y)) = 1))
46	45	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((T e. UniOp /\ y e. ~H) /\ (normh` y) = 1) -> ((normh` (T` y)) = (normh` y) <-> (normh` (T` y)) = 1))
47	44, 46	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((T e. UniOp /\ y e. ~H) /\ (normh` y) = 1) -> (normh` (T` y)) = 1)
48	47	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((T e. UniOp /\ y e. ~H) /\ (normh` y) = 1) -> 1 = (normh` (T` y)))
49	48	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. UniOp /\ y e. ~H) -> ((normh` y) = 1 -> 1 = (normh` (T` y))))
50	43, 49	jcad 661	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. UniOp /\ y e. ~H) -> ((normh` y) = 1 -> ((normh` y) <_ 1 /\ 1 = (normh` (T` y)))))
51	50	adantll 428	. . . . . . . . . 10 |- (((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) /\ y e. ~H) -> ((normh` y) = 1 -> ((normh` y) <_ 1 /\ 1 = (normh` (T` y)))))
52	51	reximdva 2203	. . . . . . . . 9 |- ((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) -> (E.y e. ~H (normh` y) = 1 -> E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ 1 = (normh` (T` y)))))
53	39, 52	mpd 29	. . . . . . . 8 |- ((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) -> E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ 1 = (normh` (T` y))))
54	13	elisseti 2301	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
55		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . 11 |- (x = 1 -> (x = (normh` (T` y)) <-> 1 = (normh` (T` y))))
56	55	anbi2d 678	. . . . . . . . . 10 |- (x = 1 -> (((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y))) <-> ((normh` y) <_ 1 /\ 1 = (normh` (T` y)))))
57	56	rexbidv 2124	. . . . . . . . 9 |- (x = 1 -> (E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y))) <-> E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ 1 = (normh` (T` y)))))
58	54, 57	elab 2403	. . . . . . . 8 |- (1 e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))} <-> E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ 1 = (normh` (T` y))))
59	53, 58	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) -> 1 e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))})
60	59	adantr 425	. . . . . 6 |- (((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) /\ z e. RR) -> 1 e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))})
61	34, 60	sylan 497	. . . . 5 |- ((((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) /\ z e. RR) /\ z < 1) -> E.w e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))}z < w)
62	61	ex 402	. . . 4 |- (((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) /\ z e. RR) -> (z < 1 -> E.w e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))}z < w))
63	62	r19.21aiva 2176	. . 3 |- ((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) -> A.z e. RR (z < 1 -> E.w e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))}z < w))
64		supxr2 7291	. . 3 |- ((({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))} C_ RR* /\ 1 e. RR*) /\ (A.z e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))}z <_ 1 /\ A.z e. RR (z < 1 -> E.w e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))}z < w))) -> sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))}, RR*, < ) = 1)
65	16, 32, 63, 64	syl12anc 1098	. 2 |- ((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) -> sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (T` y)))}, RR*, < ) = 1)
66	6, 65	eqtrd 1925	1 |- ((~H =/= 0H /\ T e. UniOp) -> (normop` T) = 1)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  supcsup 5663  RRcr 6385  1c1 6387   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  ~Hchil 10420  0hc0v 10423  normhcno 10426  0Hc0h 10436  norm_opcnop 10446  LinOpclo 10448  UniOpcuo 10450

This theorem is referenced by:  unopbd 11577  unierri 11674

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-sh 10709  df-ch 10725  df-ch0 10758  df-nmop 11402  df-lnop 11404  df-unop 11406

Copyright terms: Public domain