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Theorem nmopub 25311
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 7-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopub  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem nmopub
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopval 25259 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( normop `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
32breq1d 4301 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  A  <->  sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A ) )
4 nmopsetretALT 25266 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR )
5 ressxr 9426 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
64, 5syl6ss 3367 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR* )
7 supxrleub 11288 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  {
y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A
) )
86, 7sylan 471 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A
) )
9 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <-> 
( y  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )
10 eqeq1 2448 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( normh `  ( T `  x
) )  <->  z  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
1110anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  <->  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
129, 11syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <->  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
1312rexbidv 2735 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) ) )
1413ralab 3119 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. z
( E. x  e. 
~H  ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A ) )
15 ralcom4 2990 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A ) )
16 impexp 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
1716albii 1610 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
18 fvex 5700 . . . . . . . 8  |-  ( normh `  ( T `  x
) )  e.  _V
19 breq1 4294 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( z  <_  A  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2019imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( (
( normh `  x )  <_  1  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
2118, 20ceqsalv 2999 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  -> 
( ( normh `  x
)  <_  1  ->  z  <_  A ) )  <-> 
( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
2217, 21bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
2322ralbii 2738 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
24 r19.23v 2832 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( z  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( normh `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2524albii 1610 . . . . 5  |-  ( A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  A. z
( E. x  e. 
~H  ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A ) )
2615, 23, 253bitr3i 275 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  A
)  <->  A. z ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( normh `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2714, 26bitr4i 252 . . 3  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
288, 27syl6bb 261 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
293, 28bitrd 253 1  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2428   A.wral 2714   E.wrex 2715    C_ wss 3327   class class class wbr 4291   -->wf 5413   ` cfv 5417   supcsup 7689   RRcr 9280   1c1 9282   RR*cxr 9416    < clt 9417    <_ cle 9418   ~Hchil 24320   normhcno 24324   normopcnop 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-hilex 24400  ax-hv0cl 24404  ax-hvmul0 24411  ax-hfi 24480  ax-his1 24483  ax-his3 24485  ax-his4 24486
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-rp 10991  df-seq 11806  df-exp 11865  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-hnorm 24369  df-nmop 25242
This theorem is referenced by:  nmopub2tALT  25312  nmophmi  25434  nmopadjlem  25492  nmoptrii  25497  nmopcoi  25498  nmopcoadji  25504
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