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Theorem nmopub 27404
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 7-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopub  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem nmopub
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopval 27352 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
21adantr 466 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( normop `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
32breq1d 4436 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  A  <->  sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A ) )
4 nmopsetretALT 27359 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR )
5 ressxr 9683 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
64, 5syl6ss 3482 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR* )
7 supxrleub 11612 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  {
y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A
) )
86, 7sylan 473 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A
) )
9 ancom 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <-> 
( y  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )
10 eqeq1 2433 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( normh `  ( T `  x
) )  <->  z  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
1110anbi1d 709 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  <->  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
129, 11syl5bb 260 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <->  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
1312rexbidv 2946 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) ) )
1413ralab 3238 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. z
( E. x  e. 
~H  ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A ) )
15 ralcom4 3106 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A ) )
16 impexp 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
1716albii 1687 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
18 fvex 5891 . . . . . . . 8  |-  ( normh `  ( T `  x
) )  e.  _V
19 breq1 4429 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( z  <_  A  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2019imbi2d 317 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( (
( normh `  x )  <_  1  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
2118, 20ceqsalv 3115 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  -> 
( ( normh `  x
)  <_  1  ->  z  <_  A ) )  <-> 
( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
2217, 21bitri 252 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
2322ralbii 2863 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
24 r19.23v 2912 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( z  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( normh `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2524albii 1687 . . . . 5  |-  ( A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  A. z
( E. x  e. 
~H  ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A ) )
2615, 23, 253bitr3i 278 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  A
)  <->  A. z ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( normh `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2714, 26bitr4i 255 . . 3  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
288, 27syl6bb 264 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
293, 28bitrd 256 1  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1870   {cab 2414   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   class class class wbr 4426   -->wf 5597   ` cfv 5601   supcsup 7960   RRcr 9537   1c1 9539   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675   ~Hchil 26415   normhcno 26419   normopcnop 26441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-hilex 26495  ax-hv0cl 26499  ax-hvmul0 26506  ax-hfi 26575  ax-his1 26578  ax-his3 26580  ax-his4 26581
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-hnorm 26464  df-nmop 27335
This theorem is referenced by:  nmopub2tALT  27405  nmophmi  27527  nmopadjlem  27585  nmoptrii  27590  nmopcoi  27591  nmopcoadji  27597
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