Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmoptrii Structured version   Unicode version

Theorem nmoptrii 26836
 Description: Triangle inequality for the norms of bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1
nmoptri.2
Assertion
Ref Expression
nmoptrii

Proof of Theorem nmoptrii
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . 5
2 bdopf 26604 . . . . 5
31, 2ax-mp 5 . . . 4
4 nmoptri.2 . . . . 5
5 bdopf 26604 . . . . 5
64, 5ax-mp 5 . . . 4
73, 6hoaddcli 26510 . . 3
8 nmopre 26612 . . . . . 6
91, 8ax-mp 5 . . . . 5
10 nmopre 26612 . . . . . 6
114, 10ax-mp 5 . . . . 5
129, 11readdcli 9621 . . . 4
1312rexri 9658 . . 3
14 nmopub 26650 . . 3
157, 13, 14mp2an 672 . 2
163, 6hoscli 26504 . . . . . 6
17 normcl 25865 . . . . . 6
1816, 17syl 16 . . . . 5
1918adantr 465 . . . 4
203ffvelrni 6031 . . . . . . 7
21 normcl 25865 . . . . . . 7
2220, 21syl 16 . . . . . 6
236ffvelrni 6031 . . . . . . 7
24 normcl 25865 . . . . . . 7
2523, 24syl 16 . . . . . 6
2622, 25readdcld 9635 . . . . 5
2726adantr 465 . . . 4
2812a1i 11 . . . 4
29 hosval 26482 . . . . . . . 8
303, 6, 29mp3an12 1314 . . . . . . 7
3130fveq2d 5876 . . . . . 6
32 norm-ii 25878 . . . . . . 7
3320, 23, 32syl2anc 661 . . . . . 6
3431, 33eqbrtrd 4473 . . . . 5
3534adantr 465 . . . 4
36 nmoplb 26649 . . . . . 6
373, 36mp3an1 1311 . . . . 5
38 nmoplb 26649 . . . . . 6
396, 38mp3an1 1311 . . . . 5
40 le2add 10046 . . . . . . . 8
419, 11, 40mpanr12 685 . . . . . . 7
4222, 25, 41syl2anc 661 . . . . . 6
4342adantr 465 . . . . 5
4437, 39, 43mp2and 679 . . . 4
4519, 27, 28, 35, 44letrd 9750 . . 3
4645ex 434 . 2
4715, 46mprgbir 2831 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817   class class class wbr 4453  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cr 9503  c1 9505   caddc 9507  cxr 9639   cle 9641  chil 25659   cva 25660  cno 25663   chos 25678  cnop 25685  cbo 25688 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-hilex 25739  ax-hfvadd 25740  ax-hvcom 25741  ax-hvass 25742  ax-hv0cl 25743  ax-hvaddid 25744  ax-hfvmul 25745  ax-hvmulid 25746  ax-hvmulass 25747  ax-hvdistr1 25748  ax-hvdistr2 25749  ax-hvmul0 25750  ax-hfi 25819  ax-his1 25822  ax-his2 25823  ax-his3 25824  ax-his4 25825 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ablo 25107  df-vc 25262  df-nv 25308  df-va 25311  df-ba 25312  df-sm 25313  df-0v 25314  df-nmcv 25316  df-hnorm 25708  df-hba 25709  df-hvsub 25711  df-hosum 26472  df-nmop 26581  df-lnop 26583  df-bdop 26584 This theorem is referenced by:  bdophsi  26838  nmoptri2i  26841  unierri  26846
 Copyright terms: Public domain W3C validator