Theorem nmoptrii 11664

Description: Triangle inequality for the norms of bounded linear operators.

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	|- S e. BndLinOp
nmoptri.2	|- T e. BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmoptrii	|- (normop` (S +op T)) <_ ((normop` S) + (normop` T))

Proof of Theorem nmoptrii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . 4 |- S e. BndLinOp
2		bdopf 11426	. . . 4 |- (S e. BndLinOp -> S:~H-->~H)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- S:~H-->~H
4		nmoptri.2	. . . 4 |- T e. BndLinOp
5		bdopf 11426	. . . 4 |- (T e. BndLinOp -> T:~H-->~H)
6	4, 5	ax-mp 7	. . 3 |- T:~H-->~H
7	3, 6	hoaddcli 11331	. 2 |- (S +op T):~H-->~H
8		nmopre 11434	. . . . 5 |- (S e. BndLinOp -> (normop` S) e. RR)
9	1, 8	ax-mp 7	. . . 4 |- (normop` S) e. RR
10		nmopre 11434	. . . . 5 |- (T e. BndLinOp -> (normop` T) e. RR)
11	4, 10	ax-mp 7	. . . 4 |- (normop` T) e. RR
12	9, 11	readdcli 6487	. . 3 |- ((normop` S) + (normop` T)) e. RR
13		rexr 6668	. . 3 |- (((normop` S) + (normop` T)) e. RR -> ((normop` S) + (normop` T)) e. RR*)
14	12, 13	ax-mp 7	. 2 |- ((normop` S) + (normop` T)) e. RR*
15	3, 6	hoscli 11325	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> ((S +op T)` x) e. ~H)
16		normcl 10624	. . . . . . 7 |- (((S +op T)` x) e. ~H -> (normh` ((S +op T)` x)) e. RR)
17	15, 16	syl 12	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> (normh` ((S +op T)` x)) e. RR)
18	17	adantr 425	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` ((S +op T)` x)) e. RR)
19	3	ffvelrni 4788	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> (S` x) e. ~H)
20		normcl 10624	. . . . . . . 8 |- ((S` x) e. ~H -> (normh` (S` x)) e. RR)
21	19, 20	syl 12	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (normh` (S` x)) e. RR)
22	6	ffvelrni 4788	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> (T` x) e. ~H)
23		normcl 10624	. . . . . . . 8 |- ((T` x) e. ~H -> (normh` (T` x)) e. RR)
24	22, 23	syl 12	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (normh` (T` x)) e. RR)
25		readdcl 6455	. . . . . . 7 |- (((normh` (S` x)) e. RR /\ (normh` (T` x)) e. RR) -> ((normh` (S` x)) + (normh` (T` x))) e. RR)
26	21, 24, 25	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> ((normh` (S` x)) + (normh` (T` x))) e. RR)
27	26	adantr 425	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` (S` x)) + (normh` (T` x))) e. RR)
28	12	a1i 8	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normop` S) + (normop` T)) e. RR)
29		hosvalOLD 11150	. . . . . . . . 9 |- (((S:~H-->~H /\ T:~H-->~H) /\ x e. ~H) -> ((S +op T)` x) = ((S` x) +h (T` x)))
30	3, 6, 29	mpanl12 773	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> ((S +op T)` x) = ((S` x) +h (T` x)))
31	30	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (normh` ((S +op T)` x)) = (normh` ((S` x) +h (T` x))))
32		norm-ii 10638	. . . . . . . 8 |- (((S` x) e. ~H /\ (T` x) e. ~H) -> (normh` ((S` x) +h (T` x))) <_ ((normh` (S` x)) + (normh` (T` x))))
33	19, 22, 32	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (normh` ((S` x) +h (T` x))) <_ ((normh` (S` x)) + (normh` (T` x))))
34	31, 33	eqbrtrd 3357	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> (normh` ((S +op T)` x)) <_ ((normh` (S` x)) + (normh` (T` x))))
35	34	adantr 425	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` ((S +op T)` x)) <_ ((normh` (S` x)) + (normh` (T` x))))
36		nmoplb 11468	. . . . . . 7 |- ((S:~H-->~H /\ x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (S` x)) <_ (normop` S))
37	3, 36	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (S` x)) <_ (normop` S))
38		nmoplb 11468	. . . . . . 7 |- ((T:~H-->~H /\ x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (T` x)) <_ (normop` T))
39	6, 38	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (T` x)) <_ (normop` T))
40		le2add 6828	. . . . . . . . 9 |- ((((normh` (S` x)) e. RR /\ (normh` (T` x)) e. RR) /\ ((normop` S) e. RR /\ (normop` T) e. RR)) -> (((normh` (S` x)) <_ (normop` S) /\ (normh` (T` x)) <_ (normop` T)) -> ((normh` (S` x)) + (normh` (T` x))) <_ ((normop` S) + (normop` T))))
41	9, 11, 40	mpanr12 778	. . . . . . . 8 |- (((normh` (S` x)) e. RR /\ (normh` (T` x)) e. RR) -> (((normh` (S` x)) <_ (normop` S) /\ (normh` (T` x)) <_ (normop` T)) -> ((normh` (S` x)) + (normh` (T` x))) <_ ((normop` S) + (normop` T))))
42	21, 24, 41	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (((normh` (S` x)) <_ (normop` S) /\ (normh` (T` x)) <_ (normop` T)) -> ((normh` (S` x)) + (normh` (T` x))) <_ ((normop` S) + (normop` T))))
43	42	adantr 425	. . . . . 6 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (((normh` (S` x)) <_ (normop` S) /\ (normh` (T` x)) <_ (normop` T)) -> ((normh` (S` x)) + (normh` (T` x))) <_ ((normop` S) + (normop` T))))
44	37, 39, 43	mp2and 767	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` (S` x)) + (normh` (T` x))) <_ ((normop` S) + (normop` T)))
45	18, 27, 28, 35, 44	letrd 6696	. . . 4 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` ((S +op T)` x)) <_ ((normop` S) + (normop` T)))
46	45	ex 402	. . 3 |- (x e. ~H -> ((normh` x) <_ 1 -> (normh` ((S +op T)` x)) <_ ((normop` S) + (normop` T))))
47	46	rgen 2159	. 2 |- A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (normh` ((S +op T)` x)) <_ ((normop` S) + (normop` T)))
48		nmopub 11469	. 2 |- (((S +op T):~H-->~H /\ ((normop` S) + (normop` T)) e. RR* /\ A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (normh` ((S +op T)` x)) <_ ((normop` S) + (normop` T)))) -> (normop` (S +op T)) <_ ((normop` S) + (normop` T)))
49	7, 14, 47, 48	mp3an 1191	1 |- (normop` (S +op T)) <_ ((normop` S) + (normop` T))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  RR*cxr 6652  ~Hchil 10420   +h cva 10421  normhcno 10426   +op chos 10439  norm_opcnop 10446  BndLinOpcbo 10449

This theorem is referenced by:  bdophsi 11666  nmoptri2i 11669  unierri 11674

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hosum 11139  df-nmop 11402  df-lnop 11404  df-bdop 11405

Copyright terms: Public domain