HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmoptri2i Structured version   Unicode version

Theorem nmoptri2i 25650
Description: Triangle-type inequality for the norms of bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1  |-  S  e.  BndLinOp
nmoptri.2  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmoptri2i  |-  ( (
normop `  S )  -  ( normop `  T )
)  <_  ( normop `  ( S  +op  T ) )

Proof of Theorem nmoptri2i
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . 5  |-  S  e.  BndLinOp
2 nmoptri.2 . . . . 5  |-  T  e.  BndLinOp
31, 2bdophsi 25647 . . . 4  |-  ( S 
+op  T )  e.  BndLinOp
4 neg1cn 10531 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
52bdophmi 25583 . . . . 5  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1  .op  T
)  e.  BndLinOp )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( -u
1  .op  T )  e. 
BndLinOp
73, 6nmoptrii 25645 . . 3  |-  ( normop `  ( ( S  +op  T )  +op  ( -u
1  .op  T )
) )  <_  (
( normop `  ( S  +op  T ) )  +  ( normop `  ( -u 1  .op  T ) ) )
8 bdopf 25413 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S : ~H --> ~H )
91, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  S : ~H
--> ~H
10 bdopf 25413 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
112, 10ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  T : ~H
--> ~H
129, 11hoaddcli 25319 . . . . . 6  |-  ( S 
+op  T ) : ~H --> ~H
1312, 11honegsubi 25347 . . . . 5  |-  ( ( S  +op  T ) 
+op  ( -u 1  .op  T ) )  =  ( ( S  +op  T )  -op  T )
149, 11hopncani 25375 . . . . 5  |-  ( ( S  +op  T )  -op  T )  =  S
1513, 14eqtri 2481 . . . 4  |-  ( ( S  +op  T ) 
+op  ( -u 1  .op  T ) )  =  S
1615fveq2i 5797 . . 3  |-  ( normop `  ( ( S  +op  T )  +op  ( -u
1  .op  T )
) )  =  (
normop `  S )
1711nmopnegi 25516 . . . 4  |-  ( normop `  ( -u 1  .op 
T ) )  =  ( normop `  T )
1817oveq2i 6206 . . 3  |-  ( (
normop `  ( S  +op  T ) )  +  (
normop `  ( -u 1  .op  T ) ) )  =  ( ( normop `  ( S  +op  T
) )  +  (
normop `  T ) )
197, 16, 183brtr3i 4422 . 2  |-  ( normop `  S )  <_  (
( normop `  ( S  +op  T ) )  +  ( normop `  T )
)
20 nmopre 25421 . . . 4  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  S
)  e.  RR )
211, 20ax-mp 5 . . 3  |-  ( normop `  S )  e.  RR
22 nmopre 25421 . . . 4  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
232, 22ax-mp 5 . . 3  |-  ( normop `  T )  e.  RR
24 nmopre 25421 . . . 4  |-  ( ( S  +op  T )  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  ( S  +op  T ) )  e.  RR )
253, 24ax-mp 5 . . 3  |-  ( normop `  ( S  +op  T
) )  e.  RR
2621, 23, 25lesubaddi 10004 . 2  |-  ( ( ( normop `  S )  -  ( normop `  T
) )  <_  ( normop `  ( S  +op  T
) )  <->  ( normop `  S
)  <_  ( ( normop `  ( S  +op  T
) )  +  (
normop `  T ) ) )
2719, 26mpbir 209 1  |-  ( (
normop `  S )  -  ( normop `  T )
)  <_  ( normop `  ( S  +op  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758   class class class wbr 4395   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   1c1 9389    + caddc 9391    <_ cle 9525    - cmin 9701   -ucneg 9702   ~Hchil 24468    +op chos 24487    .op chot 24488    -op chod 24489   normopcnop 24494   BndLinOpcbo 24497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cc 8710  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468  ax-hilex 24548  ax-hfvadd 24549  ax-hvcom 24550  ax-hvass 24551  ax-hv0cl 24552  ax-hvaddid 24553  ax-hfvmul 24554  ax-hvmulid 24555  ax-hvmulass 24556  ax-hvdistr1 24557  ax-hvdistr2 24558  ax-hvmul0 24559  ax-hfi 24628  ax-his1 24631  ax-his2 24632  ax-his3 24633  ax-his4 24634  ax-hcompl 24751
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-omul 7030  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-acn 8218  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-sum 13277  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-lm 18960  df-haus 19046  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cfil 20893  df-cau 20894  df-cmet 20895  df-grpo 23825  df-gid 23826  df-ginv 23827  df-gdiv 23828  df-ablo 23916  df-subgo 23936  df-vc 24071  df-nv 24117  df-va 24120  df-ba 24121  df-sm 24122  df-0v 24123  df-vs 24124  df-nmcv 24125  df-ims 24126  df-dip 24243  df-ssp 24267  df-ph 24360  df-cbn 24411  df-hnorm 24517  df-hba 24518  df-hvsub 24520  df-hlim 24521  df-hcau 24522  df-sh 24756  df-ch 24771  df-oc 24802  df-ch0 24803  df-shs 24858  df-pjh 24945  df-hosum 25281  df-homul 25282  df-hodif 25283  df-h0op 25299  df-nmop 25390  df-lnop 25392  df-bdop 25393
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator