HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopsetn0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nmopsetn0 27518
Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmop 27492 is nonempty. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopsetn0  |-  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem nmopsetn0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 26656 . . 3  |-  0h  e.  ~H
2 norm0 26781 . . . . 5  |-  ( normh `  0h )  =  0
3 0le1 10137 . . . . 5  |-  0  <_  1
42, 3eqbrtri 4422 . . . 4  |-  ( normh `  0h )  <_  1
5 eqid 2451 . . . 4  |-  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) )
64, 5pm3.2i 457 . . 3  |-  ( (
normh `  0h )  <_ 
1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) ) )
7 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  0h )
)
87breq1d 4412 . . . . 5  |-  ( y  =  0h  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  ( normh `  0h )  <_  1 ) )
9 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0h  ->  ( T `  y )  =  ( T `  0h ) )
109fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  ( T `  0h ) ) )
1110eqeq2d 2461 . . . . 5  |-  ( y  =  0h  ->  (
( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) )  <->  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) ) ) )
128, 11anbi12d 717 . . . 4  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  0h )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) ) ) ) )
1312rspcev 3150 . . 3  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  ( ( normh `  0h )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
141, 6, 13mp2an 678 . 2  |-  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
15 fvex 5875 . . 3  |-  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  _V
16 eqeq1 2455 . . . . 5  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  0h )
)  ->  ( x  =  ( normh `  ( T `  y )
)  <->  ( normh `  ( T `  0h )
)  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
1716anbi2d 710 . . . 4  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  0h )
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2901 . . 3  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  0h )
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1915, 18elab 3185 . 2  |-  ( (
normh `  ( T `  0h ) )  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
2014, 19mpbir 213 1  |-  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   {cab 2437   E.wrex 2738   class class class wbr 4402   ` cfv 5582   0cc0 9539   1c1 9540    <_ cle 9676   ~Hchil 26572   normhcno 26576   0hc0v 26577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-hv0cl 26656  ax-hvmul0 26663  ax-hfi 26732  ax-his3 26737
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-hnorm 26621
This theorem is referenced by:  nmoprepnf  27520
  Copyright terms: Public domain W3C validator