HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopsetn0 Structured version   Unicode version

Theorem nmopsetn0 27183
Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmop 27157 is nonempty. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopsetn0  |-  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem nmopsetn0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 26320 . . 3  |-  0h  e.  ~H
2 norm0 26445 . . . . 5  |-  ( normh `  0h )  =  0
3 0le1 10115 . . . . 5  |-  0  <_  1
42, 3eqbrtri 4413 . . . 4  |-  ( normh `  0h )  <_  1
5 eqid 2402 . . . 4  |-  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) )
64, 5pm3.2i 453 . . 3  |-  ( (
normh `  0h )  <_ 
1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) ) )
7 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  0h )
)
87breq1d 4404 . . . . 5  |-  ( y  =  0h  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  ( normh `  0h )  <_  1 ) )
9 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0h  ->  ( T `  y )  =  ( T `  0h ) )
109fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  ( T `  0h ) ) )
1110eqeq2d 2416 . . . . 5  |-  ( y  =  0h  ->  (
( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) )  <->  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) ) ) )
128, 11anbi12d 709 . . . 4  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  0h )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) ) ) ) )
1312rspcev 3159 . . 3  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  ( ( normh `  0h )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
141, 6, 13mp2an 670 . 2  |-  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
15 fvex 5858 . . 3  |-  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  _V
16 eqeq1 2406 . . . . 5  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  0h )
)  ->  ( x  =  ( normh `  ( T `  y )
)  <->  ( normh `  ( T `  0h )
)  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
1716anbi2d 702 . . . 4  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  0h )
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2917 . . 3  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  0h )
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1915, 18elab 3195 . 2  |-  ( (
normh `  ( T `  0h ) )  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
2014, 19mpbir 209 1  |-  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   E.wrex 2754   class class class wbr 4394   ` cfv 5568   0cc0 9521   1c1 9522    <_ cle 9658   ~Hchil 26236   normhcno 26240   0hc0v 26241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-hv0cl 26320  ax-hvmul0 26327  ax-hfi 26396  ax-his3 26401
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-hnorm 26285
This theorem is referenced by:  nmoprepnf  27185
  Copyright terms: Public domain W3C validator