HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopre Structured version   Unicode version

Theorem nmopre 25274
Description: The norm of a bounded operator is a real number. (Contributed by NM, 29-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopre  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )

Proof of Theorem nmopre
StepHypRef Expression
1 bdopf 25266 . . 3  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
2 nmopgtmnf 25272 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  -> -oo 
<  ( normop `  T
) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( T  e.  BndLinOp  -> -oo  <  ( normop `  T ) )
4 elbdop 25264 . . 3  |-  ( T  e.  BndLinOp 
<->  ( T  e.  LinOp  /\  ( normop `  T )  < +oo ) )
54simprbi 464 . 2  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  < +oo )
6 nmopxr 25270 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  e. 
RR* )
7 xrrebnd 11140 . . 3  |-  ( (
normop `  T )  e. 
RR*  ->  ( ( normop `  T )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( normop `  T
)  /\  ( normop `  T
)  < +oo )
) )
81, 6, 73syl 20 . 2  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( ( normop `  T )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( normop `  T
)  /\  ( normop `  T
)  < +oo )
) )
93, 5, 8mpbir2and 913 1  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   -->wf 5414   ` cfv 5418   RRcr 9281   +oocpnf 9415   -oocmnf 9416   RR*cxr 9417    < clt 9418   ~Hchil 24321   normopcnop 24347   LinOpclo 24349   BndLinOpcbo 24350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-hilex 24401  ax-hfvadd 24402  ax-hvcom 24403  ax-hvass 24404  ax-hv0cl 24405  ax-hvaddid 24406  ax-hfvmul 24407  ax-hvmulid 24408  ax-hvmulass 24409  ax-hvdistr1 24410  ax-hvdistr2 24411  ax-hvmul0 24412  ax-hfi 24481  ax-his1 24484  ax-his2 24485  ax-his3 24486  ax-his4 24487
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ablo 23769  df-vc 23924  df-nv 23970  df-va 23973  df-ba 23974  df-sm 23975  df-0v 23976  df-nmcv 23978  df-hnorm 24370  df-hba 24371  df-hvsub 24373  df-nmop 25243  df-lnop 25245  df-bdop 25246
This theorem is referenced by:  nmbdoplbi  25428  nmophmi  25435  bdophmi  25436  lnopcnbd  25440  nmopadjlem  25493  nmopadji  25494  nmoptrii  25498  nmopcoi  25499  bdophsi  25500  bdopcoi  25502  nmoptri2i  25503  nmopcoadji  25505  nmopcoadj0i  25507  unierri  25508
  Copyright terms: Public domain W3C validator