HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopnegi Structured version   Unicode version

Theorem nmopnegi 27010
Description: Value of the norm of the negative of a Hilbert space operator. Unlike nmophmi 27076, the operator does not have to be bounded. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopneg.1  |-  T : ~H
--> ~H
Assertion
Ref Expression
nmopnegi  |-  ( normop `  ( -u 1  .op 
T ) )  =  ( normop `  T )

Proof of Theorem nmopnegi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10660 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
2 nmopneg.1 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
3 homval 26786 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
)  =  ( -u
1  .h  ( T `
 y ) ) )
41, 2, 3mp3an12 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( -u 1  .op  T
) `  y )  =  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) )
54fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( -u
1  .op  T ) `  y ) )  =  ( normh `  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) ) )
62ffvelrni 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
7 normneg 26187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  y )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
95, 8eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( -u
1  .op  T ) `  y ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
109eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) )  <->  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
1110anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1211rexbiia 2958 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `
 y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
1312abbii 2591 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) ) }  =  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }
1413supeq1i 7924 . 2  |-  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
15 homulcl 26804 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( -u 1  .op 
T ) : ~H --> ~H )
161, 2, 15mp2an 672 . . 3  |-  ( -u
1  .op  T ) : ~H --> ~H
17 nmopval 26901 . . 3  |-  ( (
-u 1  .op  T
) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( -u 1  .op  T ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
1816, 17ax-mp 5 . 2  |-  ( normop `  ( -u 1  .op 
T ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
19 nmopval 26901 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
202, 19ax-mp 5 . 2  |-  ( normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
2114, 18, 203eqtr4i 2496 1  |-  ( normop `  ( -u 1  .op 
T ) )  =  ( normop `  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   1c1 9510   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   -ucneg 9825   ~Hchil 25962    .h csm 25964   normhcno 25966    .op chot 25982   normopcnop 25988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-hilex 26042  ax-hfvadd 26043  ax-hvcom 26044  ax-hv0cl 26046  ax-hvaddid 26047  ax-hfvmul 26048  ax-hvmulid 26049  ax-hvmulass 26050  ax-hvdistr1 26051  ax-hvmul0 26053  ax-hfi 26122  ax-his1 26125  ax-his3 26127  ax-his4 26128
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-hnorm 26011  df-hvsub 26014  df-homul 26776  df-nmop 26884
This theorem is referenced by:  nmoptri2i  27144
  Copyright terms: Public domain W3C validator