HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopleid Structured version   Unicode version

Theorem nmopleid 25555
Description: A nonzero, bounded Hermitian operator divided by its norm is less than or equal to the identity operator. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopleid  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR  /\  T  =/=  0hop )  ->  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )  <_op  Iop  )

Proof of Theorem nmopleid
StepHypRef Expression
1 hmoplin 25358 . . . . 5  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)
2 nmlnopne0 25415 . . . . . 6  |-  ( T  e.  LinOp  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  T  =/=  0hop ) )
32biimpar 485 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T  =/=  0hop )  ->  ( normop `  T )  =/=  0
)
41, 3sylan 471 . . . 4  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  T  =/=  0hop )  ->  ( normop `  T )  =/=  0
)
54adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  T  =/=  0hop )  ->  ( normop `  T )  =/=  0
)
6 rereccl 10061 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  RR )
76adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  RR )
8 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  T  e.  HrmOp
)
9 idhmop 25398 . . . . . . 7  |-  Iop  e.  HrmOp
10 hmopm 25437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  Iop  e.  HrmOp
)  ->  ( ( normop `  T )  .op  Iop  )  e.  HrmOp )
119, 10mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  T )  e.  RR  ->  ( ( normop `  T )  .op  Iop  )  e.  HrmOp )
1211ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( ( normop `  T )  .op  Iop  )  e.  HrmOp )
13 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
14 hmopf 25290 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
15 nmopgt0 25328 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( normop `  T ) ) )
1615biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  0  <  ( normop `  T )
)
1714, 16sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  0  <  (
normop `  T ) )
1817adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  0  <  (
normop `  T ) )
1913, 18recgt0d 10279 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  0  <  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )
20 0re 9398 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
21 ltle 9475 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  RR )  ->  (
0  <  ( 1  /  ( normop `  T
) )  ->  0  <_  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) )
2220, 6, 21sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( 0  <  ( 1  / 
( normop `  T )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) )
2322adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( 0  <  ( 1  / 
( normop `  T )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) )
2419, 23mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )
25 leopnmid 25554 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  ->  T  <_op  (
( normop `  T )  .op  Iop  ) )
2625adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  T  <_op  ( ( normop `  T )  .op  Iop  ) )
27 leopmul2i 25551 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  (
( normop `  T )  .op  Iop  )  e.  HrmOp )  /\  ( 0  <_ 
( 1  /  ( normop `  T ) )  /\  T  <_op  ( ( normop `  T )  .op  Iop  ) ) )  -> 
( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )  <_op  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  ( ( normop `  T )  .op  Iop  ) ) )
287, 8, 12, 24, 26, 27syl32anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  T )  <_op  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  ( ( normop `  T
)  .op  Iop  ) ) )
29 recn 9384 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  T )  e.  RR  ->  ( normop `  T
)  e.  CC )
30 reccl 10013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  CC )
31 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( normop `  T
)  e.  CC )
32 hoif 25170 . . . . . . . . . . 11  |-  Iop  : ~H
-1-1-onto-> ~H
33 f1of 5653 . . . . . . . . . . 11  |-  (  Iop 
: ~H -1-1-onto-> ~H  ->  Iop  : ~H --> ~H )
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  Iop  : ~H
--> ~H
35 homulass 25218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  e.  CC  /\ 
Iop  : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  .op  Iop  )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  .op  ( ( normop `  T
)  .op  Iop  ) ) )
3634, 35mp3an3 1303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normop `  T )
)  .op  Iop  )  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  ( ( normop `  T )  .op  Iop  ) ) )
3730, 31, 36syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( (
( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normop `  T )
)  .op  Iop  )  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  ( ( normop `  T )  .op  Iop  ) ) )
38 recid2 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normop `  T )
)  =  1 )
3938oveq1d 6118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( (
( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normop `  T )
)  .op  Iop  )  =  ( 1  .op  Iop  ) )
4037, 39eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  ( ( normop `  T
)  .op  Iop  ) )  =  ( 1  .op 
Iop  ) )
41 homulid2 25216 . . . . . . . 8  |-  (  Iop 
: ~H --> ~H  ->  ( 1  .op  Iop  )  =  Iop  )
4234, 41ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 1 
.op  Iop  )  =  Iop
4340, 42syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  ( ( normop `  T
)  .op  Iop  ) )  =  Iop  )
4429, 43sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  ( ( normop `  T
)  .op  Iop  ) )  =  Iop  )
4544adantll 713 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  ( ( normop `  T
)  .op  Iop  ) )  =  Iop  )
4628, 45breqtrd 4328 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  T )  <_op  Iop  )
475, 46syldan 470 . 2  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  T  =/=  0hop )  ->  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .op  T )  <_op  Iop  )
48473impa 1182 1  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( normop `  T )  e.  RR  /\  T  =/=  0hop )  ->  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )  <_op  Iop  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   class class class wbr 4304   -->wf 5426   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295    x. cmul 9299    < clt 9430    <_ cle 9431    / cdiv 10005   ~Hchil 24333    .op chot 24353   0hopch0o 24357    Iop chio 24358   normopcnop 24359   LinOpclo 24361   HrmOpcho 24364    <_op cleo 24372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cc 8616  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374  ax-hilex 24413  ax-hfvadd 24414  ax-hvcom 24415  ax-hvass 24416  ax-hv0cl 24417  ax-hvaddid 24418  ax-hfvmul 24419  ax-hvmulid 24420  ax-hvmulass 24421  ax-hvdistr1 24422  ax-hvdistr2 24423  ax-hvmul0 24424  ax-hfi 24493  ax-his1 24496  ax-his2 24497  ax-his3 24498  ax-his4 24499  ax-hcompl 24616
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-omul 6937  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-acn 8124  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-sum 13176  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-lm 18845  df-t1 18930  df-haus 18931  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-cfil 20778  df-cau 20779  df-cmet 20780  df-grpo 23690  df-gid 23691  df-ginv 23692  df-gdiv 23693  df-ablo 23781  df-subgo 23801  df-vc 23936  df-nv 23982  df-va 23985  df-ba 23986  df-sm 23987  df-0v 23988  df-vs 23989  df-nmcv 23990  df-ims 23991  df-dip 24108  df-ssp 24132  df-lno 24156  df-nmoo 24157  df-0o 24159  df-ph 24225  df-cbn 24276  df-hnorm 24382  df-hba 24383  df-hvsub 24385  df-hlim 24386  df-hcau 24387  df-sh 24621  df-ch 24636  df-oc 24667  df-ch0 24668  df-shs 24723  df-pjh 24810  df-hosum 25146  df-homul 25147  df-hodif 25148  df-h0op 25164  df-iop 25165  df-nmop 25255  df-lnop 25257  df-bdop 25258  df-hmop 25260  df-leop 25268
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator