HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmoplb Structured version   Unicode version

Theorem nmoplb 25323
Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmoplb  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( normop `  T )
)

Proof of Theorem nmoplb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopsetretHIL 25280 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
2 ressxr 9439 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
31, 2syl6ss 3380 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
433ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
5 fveq2 5703 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  A )
)
65breq1d 4314 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  ( normh `  A
)  <_  1 ) )
7 fveq2 5703 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
87fveq2d 5707 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) )
98eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) )  <->  ( normh `  ( T `  A
) )  =  (
normh `  ( T `  A ) ) ) )
106, 9anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  A
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) ) ) )
11 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( normh `  ( T `  A
) )  =  (
normh `  ( T `  A ) )
1211biantru 505 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  A )  <_ 
1  <->  ( ( normh `  A )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) ) )
1310, 12syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( normh `  A )  <_  1 ) )
1413rspcev 3085 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
15 fvex 5713 . . . . . 6  |-  ( normh `  ( T `  A
) )  e.  _V
16 eqeq1 2449 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( x  =  ( normh `  ( T `  y )
)  <->  ( normh `  ( T `  A )
)  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
1716anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1915, 18elab 3118 . . . . 5  |-  ( (
normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
2014, 19sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )
21203adant1 1006 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )
22 supxrub 11299 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR*  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
234, 21, 22syl2anc 661 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
24 nmopval 25272 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
25243ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
2623, 25breqtrrd 4330 1  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( normop `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   E.wrex 2728    C_ wss 3340   class class class wbr 4304   -->wf 5426   ` cfv 5430   supcsup 7702   RRcr 9293   1c1 9295   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431   ~Hchil 24333   normhcno 24337   normopcnop 24359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-hilex 24413  ax-hfvadd 24414  ax-hvcom 24415  ax-hvass 24416  ax-hv0cl 24417  ax-hvaddid 24418  ax-hfvmul 24419  ax-hvmulid 24420  ax-hvmulass 24421  ax-hvdistr1 24422  ax-hvdistr2 24423  ax-hvmul0 24424  ax-hfi 24493  ax-his1 24496  ax-his2 24497  ax-his3 24498  ax-his4 24499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-grpo 23690  df-gid 23691  df-ablo 23781  df-vc 23936  df-nv 23982  df-va 23985  df-ba 23986  df-sm 23987  df-0v 23988  df-nmcv 23990  df-hnorm 24382  df-hba 24383  df-hvsub 24385  df-nmop 25255
This theorem is referenced by:  nmopge0  25327  nmbdoplbi  25440  nmcoplbi  25444  nmophmi  25447  nmoptrii  25510  nmopcoi  25511
  Copyright terms: Public domain W3C validator