HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmoplb Structured version   Unicode version

Theorem nmoplb 27225
Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmoplb  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( normop `  T )
)

Proof of Theorem nmoplb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopsetretHIL 27182 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
2 ressxr 9666 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
31, 2syl6ss 3453 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
433ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
5 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  A )
)
65breq1d 4404 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  ( normh `  A
)  <_  1 ) )
7 fveq2 5848 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
87fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) )
98eqeq2d 2416 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) )  <->  ( normh `  ( T `  A
) )  =  (
normh `  ( T `  A ) ) ) )
106, 9anbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  A
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) ) ) )
11 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( normh `  ( T `  A
) )  =  (
normh `  ( T `  A ) )
1211biantru 503 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  A )  <_ 
1  <->  ( ( normh `  A )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) ) )
1310, 12syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( normh `  A )  <_  1 ) )
1413rspcev 3159 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
15 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( normh `  ( T `  A
) )  e.  _V
16 eqeq1 2406 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( x  =  ( normh `  ( T `  y )
)  <->  ( normh `  ( T `  A )
)  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
1716anbi2d 702 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2917 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1915, 18elab 3195 . . . . 5  |-  ( (
normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
2014, 19sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )
21203adant1 1015 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )
22 supxrub 11568 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR*  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
234, 21, 22syl2anc 659 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
24 nmopval 27174 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
25243ad2ant1 1018 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
2623, 25breqtrrd 4420 1  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( normop `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   E.wrex 2754    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   -->wf 5564   ` cfv 5568   supcsup 7933   RRcr 9520   1c1 9522   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658   ~Hchil 26236   normhcno 26240   normopcnop 26262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-hilex 26316  ax-hfvadd 26317  ax-hvcom 26318  ax-hvass 26319  ax-hv0cl 26320  ax-hvaddid 26321  ax-hfvmul 26322  ax-hvmulid 26323  ax-hvmulass 26324  ax-hvdistr1 26325  ax-hvdistr2 26326  ax-hvmul0 26327  ax-hfi 26396  ax-his1 26399  ax-his2 26400  ax-his3 26401  ax-his4 26402
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-grpo 25593  df-gid 25594  df-ablo 25684  df-vc 25839  df-nv 25885  df-va 25888  df-ba 25889  df-sm 25890  df-0v 25891  df-nmcv 25893  df-hnorm 26285  df-hba 26286  df-hvsub 26288  df-nmop 27157
This theorem is referenced by:  nmopge0  27229  nmbdoplbi  27342  nmcoplbi  27346  nmophmi  27349  nmoptrii  27412  nmopcoi  27413
  Copyright terms: Public domain W3C validator