HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmoplb Structured version   Unicode version

Theorem nmoplb 26657
Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmoplb  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( normop `  T )
)

Proof of Theorem nmoplb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopsetretHIL 26614 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
2 ressxr 9649 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
31, 2syl6ss 3521 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
433ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
5 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  A )
)
65breq1d 4463 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  ( normh `  A
)  <_  1 ) )
7 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
87fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) )
98eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) )  <->  ( normh `  ( T `  A
) )  =  (
normh `  ( T `  A ) ) ) )
106, 9anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  A
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) ) ) )
11 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( normh `  ( T `  A
) )  =  (
normh `  ( T `  A ) )
1211biantru 505 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  A )  <_ 
1  <->  ( ( normh `  A )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) ) )
1310, 12syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( normh `  A )  <_  1 ) )
1413rspcev 3219 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
15 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( normh `  ( T `  A
) )  e.  _V
16 eqeq1 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( x  =  ( normh `  ( T `  y )
)  <->  ( normh `  ( T `  A )
)  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
1716anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2978 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1915, 18elab 3255 . . . . 5  |-  ( (
normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
2014, 19sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )
21203adant1 1014 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )
22 supxrub 11528 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR*  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
234, 21, 22syl2anc 661 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
24 nmopval 26606 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
25243ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
2623, 25breqtrrd 4479 1  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( normop `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2818    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   -->wf 5590   ` cfv 5594   supcsup 7912   RRcr 9503   1c1 9505   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   ~Hchil 25667   normhcno 25671   normopcnop 25693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-hilex 25747  ax-hfvadd 25748  ax-hvcom 25749  ax-hvass 25750  ax-hv0cl 25751  ax-hvaddid 25752  ax-hfvmul 25753  ax-hvmulid 25754  ax-hvmulass 25755  ax-hvdistr1 25756  ax-hvdistr2 25757  ax-hvmul0 25758  ax-hfi 25827  ax-his1 25830  ax-his2 25831  ax-his3 25832  ax-his4 25833
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-grpo 25024  df-gid 25025  df-ablo 25115  df-vc 25270  df-nv 25316  df-va 25319  df-ba 25320  df-sm 25321  df-0v 25322  df-nmcv 25324  df-hnorm 25716  df-hba 25717  df-hvsub 25719  df-nmop 26589
This theorem is referenced by:  nmopge0  26661  nmbdoplbi  26774  nmcoplbi  26778  nmophmi  26781  nmoptrii  26844  nmopcoi  26845
  Copyright terms: Public domain W3C validator