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Theorem nmophmi 26819
Description: The norm of the scalar product of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmophm.1  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmophmi  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )

Proof of Theorem nmophmi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmophm.1 . . . . . . . . . . 11  |-  T  e.  BndLinOp
2 bdopf 26650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
4 homval 26529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  x )  =  ( A  .h  ( T `  x ) ) )
53, 4mp3an2 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  x )  =  ( A  .h  ( T `  x ) ) )
65fveq2d 5857 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  =  ( normh `  ( A  .h  ( T `  x
) ) ) )
73ffvelrni 6012 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
8 norm-iii 25926 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  ~H )  -> 
( normh `  ( A  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
97, 8sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( A  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
106, 9eqtrd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
1110adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
12 normcl 25911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
137, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
1413ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
15 abscl 13087 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
16 absge0 13096 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
1715, 16jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )
1817ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )
19 nmoplb 26695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
203, 19mp3an1 1310 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
2120adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
22 nmopre 26658 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  T )  e.  RR
24 lemul2a 10400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( ( abs `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) ) )
2523, 24mp3anl2 1318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) ) )
2614, 18, 21, 25syl21anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
2711, 26eqbrtrd 4454 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
2827ex 434 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
2928ralrimiva 2855 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
30 homulcl 26547 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A  .op  T
) : ~H --> ~H )
313, 30mpan2 671 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .op  T ) : ~H --> ~H )
32 remulcl 9577 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR )
3315, 23, 32sylancl 662 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR )
3433rexrd 9643 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e. 
RR* )
35 nmopub 26696 . . . 4  |-  ( ( ( A  .op  T
) : ~H --> ~H  /\  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e. 
RR* )  ->  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) ) )
3631, 34, 35syl2anc 661 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) ) )
3729, 36mpbird 232 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
38 fveq2 5853 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  0
) )
39 abs0 13094 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  0 )  =  0
4038, 39syl6eq 2498 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  0 )
4140oveq1d 6293 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  =  ( 0  x.  ( normop `  T ) ) )
4223recni 9608 . . . . . . 7  |-  ( normop `  T )  e.  CC
4342mul02i 9769 . . . . . 6  |-  ( 0  x.  ( normop `  T
) )  =  0
4441, 43syl6eq 2498 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  =  0 )
4544adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =  0 )  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  =  0 )
46 nmopge0 26699 . . . . . 6  |-  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  ( A  .op  T ) ) )
4731, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( normop `  ( A  .op  T ) ) )
4847adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =  0 )  ->  0  <_  ( normop `  ( A  .op  T
) ) )
4945, 48eqbrtrd 4454 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =  0 )  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
50 nmoplb 26695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .op  T
) : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5131, 50syl3an1 1260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
52513expa 1195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5311, 52eqbrtrrd 4456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5453adantllr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5513adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR )
56 nmopxr 26654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR* )
5731, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR* )
58 nmopgtmnf 26656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  -> -oo 
<  ( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5931, 58syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  -> -oo  <  (
normop `  ( A  .op  T ) ) )
60 xrre 11376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR*  /\  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  ( normop `  ( A  .op  T ) )  /\  ( normop `  ( A  .op  T ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) ) ) )  ->  ( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR )
6157, 33, 59, 37, 60syl22anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR )
6315ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
64 absgt0 13133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  A ) ) )
6564biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <  ( abs `  A ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  0  <  ( abs `  A ) )
67 lemuldiv2 10428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  A
) ) )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( normop `  ( A  .op  T ) )  <-> 
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
6855, 62, 63, 66, 67syl112anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x )
) )  <_  ( normop `  ( A  .op  T
) )  <->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  / 
( abs `  A
) ) ) )
6968adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) )  <->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  / 
( abs `  A
) ) ) )
7054, 69mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) )
7170ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
7271ralrimiva 2855 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
7361adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR )
7415adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
75 abs00 13098 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )
7675necon3bid 2699 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  0 ) )
7776biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
7873, 74, 77redivcld 10375 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) )  e.  RR )
7978rexrd 9643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) )  e.  RR* )
80 nmopub 26696 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) )  e.  RR* )  ->  ( ( normop `  T )  <_  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  / 
( abs `  A
) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
813, 79, 80sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  /  ( abs `  A ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
8272, 81mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( normop `  T )  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) )
8323a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( normop `  T )  e.  RR )
84 lemuldiv2 10428 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  A
) ) )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) )  <->  ( normop `  T
)  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
8583, 73, 74, 65, 84syl112anc 1231 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) )  <->  ( normop `  T
)  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
8682, 85mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
8749, 86pm2.61dane 2759 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
8861, 33letri3d 9727 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  /\  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) ) ) )
8937, 87, 88mpbir2and 920 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   class class class wbr 4434   -->wf 5571   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    x. cmul 9497   -oocmnf 9626   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    / cdiv 10209   abscabs 13043   ~Hchil 25705    .h csm 25707   normhcno 25709    .op chot 25725   normopcnop 25731   BndLinOpcbo 25734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-hilex 25785  ax-hfvadd 25786  ax-hvcom 25787  ax-hvass 25788  ax-hv0cl 25789  ax-hvaddid 25790  ax-hfvmul 25791  ax-hvmulid 25792  ax-hvmulass 25793  ax-hvdistr1 25794  ax-hvdistr2 25795  ax-hvmul0 25796  ax-hfi 25865  ax-his1 25868  ax-his2 25869  ax-his3 25870  ax-his4 25871
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-map 7421  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-sup 7900  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-rp 11227  df-seq 12084  df-exp 12143  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045  df-grpo 25062  df-gid 25063  df-ablo 25153  df-vc 25308  df-nv 25354  df-va 25357  df-ba 25358  df-sm 25359  df-0v 25360  df-nmcv 25362  df-hnorm 25754  df-hba 25755  df-hvsub 25757  df-homul 26519  df-nmop 26627  df-lnop 26629  df-bdop 26630
This theorem is referenced by:  bdophmi  26820
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