Theorem nmophmi 11598

Description: The norm of the scalar product of a bounded linear operator.

Hypothesis

Ref	Expression
nmophm.1	|- T e. BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmophmi	|- (A e. CC -> (normop` (A .op T)) = ((abs` A) x. (normop` T)))

Proof of Theorem nmophmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmophm.1	. . . . . . 7 |- T e. BndLinOp
2		bdopf 11426	. . . . . . 7 |- (T e. BndLinOp -> T:~H-->~H)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . 6 |- T:~H-->~H
4		homulcl 11322	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H) -> (A .op T):~H-->~H)
5	3, 4	mpan2 760	. . . . 5 |- (A e. CC -> (A .op T):~H-->~H)
6		nmopxr 11430	. . . . 5 |- ((A .op T):~H-->~H -> (normop` (A .op T)) e. RR*)
7	5, 6	syl 12	. . . 4 |- (A e. CC -> (normop` (A .op T)) e. RR*)
8		abscl 8084	. . . . 5 |- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)
9		nmopre 11434	. . . . . . 7 |- (T e. BndLinOp -> (normop` T) e. RR)
10	1, 9	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (normop` T) e. RR
11		remulcl 6457	. . . . . 6 |- (((abs` A) e. RR /\ (normop` T) e. RR) -> ((abs` A) x. (normop` T)) e. RR)
12	10, 11	mpan2 760	. . . . 5 |- ((abs` A) e. RR -> ((abs` A) x. (normop` T)) e. RR)
13	8, 12	syl 12	. . . 4 |- (A e. CC -> ((abs` A) x. (normop` T)) e. RR)
14		nmopgtmnf 11432	. . . . 5 |- ((A .op T):~H-->~H -> -oo < (normop` (A .op T)))
15	5, 14	syl 12	. . . 4 |- (A e. CC -> -oo < (normop` (A .op T)))
16		rexr 6668	. . . . . 6 |- (((abs` A) x. (normop` T)) e. RR -> ((abs` A) x. (normop` T)) e. RR*)
17	13, 16	syl 12	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((abs` A) x. (normop` T)) e. RR*)
18		homval 11151	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ x e. ~H) -> ((A .op T)` x) = (A .h (T` x)))
19	3, 18	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ x e. ~H) -> ((A .op T)` x) = (A .h (T` x)))
20	19	fveq2d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ x e. ~H) -> (normh` ((A .op T)` x)) = (normh` (A .h (T` x))))
21		norm-iii 10640	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ (T` x) e. ~H) -> (normh` (A .h (T` x))) = ((abs` A) x. (normh` (T` x))))
22	3	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> (T` x) e. ~H)
23	21, 22	sylan2 500	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ x e. ~H) -> (normh` (A .h (T` x))) = ((abs` A) x. (normh` (T` x))))
24	20, 23	eqtrd 1925	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ x e. ~H) -> (normh` ((A .op T)` x)) = ((abs` A) x. (normh` (T` x))))
25	24	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((A e. CC /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` ((A .op T)` x)) = ((abs` A) x. (normh` (T` x))))
26		normcl 10624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T` x) e. ~H -> (normh` (T` x)) e. RR)
27	22, 26	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ~H -> (normh` (T` x)) e. RR)
28	27	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ x e. ~H) -> (normh` (T` x)) e. RR)
29	10	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ x e. ~H) -> (normop` T) e. RR)
30	8	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ x e. ~H) -> (abs` A) e. RR)
31	28, 29, 30	3jca 1050	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ x e. ~H) -> ((normh` (T` x)) e. RR /\ (normop` T) e. RR /\ (abs` A) e. RR))
32	31	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((A e. CC /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` (T` x)) e. RR /\ (normop` T) e. RR /\ (abs` A) e. RR))
33		absge0 8105	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> 0 <_ (abs` A))
34		nmoplb 11468	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T:~H-->~H /\ x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (T` x)) <_ (normop` T))
35	3, 34	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (T` x)) <_ (normop` T))
36	33, 35	anim12i 360	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ (x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1)) -> (0 <_ (abs` A) /\ (normh` (T` x)) <_ (normop` T)))
37	36	anassrs 489	. . . . . . . . 9 |- (((A e. CC /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ (abs` A) /\ (normh` (T` x)) <_ (normop` T)))
38		lemul2aOLD 7022	. . . . . . . . 9 |- ((((normh` (T` x)) e. RR /\ (normop` T) e. RR /\ (abs` A) e. RR) /\ (0 <_ (abs` A) /\ (normh` (T` x)) <_ (normop` T))) -> ((abs` A) x. (normh` (T` x))) <_ ((abs` A) x. (normop` T)))
39	32, 37, 38	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (((A e. CC /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((abs` A) x. (normh` (T` x))) <_ ((abs` A) x. (normop` T)))
40	25, 39	eqbrtrd 3357	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` ((A .op T)` x)) <_ ((abs` A) x. (normop` T)))
41	40	ex 402	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ x e. ~H) -> ((normh` x) <_ 1 -> (normh` ((A .op T)` x)) <_ ((abs` A) x. (normop` T))))
42	41	r19.21aiva 2176	. . . . 5 |- (A e. CC -> A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (normh` ((A .op T)` x)) <_ ((abs` A) x. (normop` T))))
43		nmopub 11469	. . . . 5 |- (((A .op T):~H-->~H /\ ((abs` A) x. (normop` T)) e. RR* /\ A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (normh` ((A .op T)` x)) <_ ((abs` A) x. (normop` T)))) -> (normop` (A .op T)) <_ ((abs` A) x. (normop` T)))
44	5, 17, 42, 43	syl111anc 1100	. . . 4 |- (A e. CC -> (normop` (A .op T)) <_ ((abs` A) x. (normop` T)))
45		xrre 6744	. . . 4 |- ((((normop` (A .op T)) e. RR* /\ ((abs` A) x. (normop` T)) e. RR) /\ ( -oo < (normop` (A .op T)) /\ (normop` (A .op T)) <_ ((abs` A) x. (normop` T)))) -> (normop` (A .op T)) e. RR)
46	7, 13, 15, 44, 45	syl22anc 1101	. . 3 |- (A e. CC -> (normop` (A .op T)) e. RR)
47		letri3 6687	. . 3 |- (((normop` (A .op T)) e. RR /\ ((abs` A) x. (normop` T)) e. RR) -> ((normop` (A .op T)) = ((abs` A) x. (normop` T)) <-> ((normop` (A .op T)) <_ ((abs` A) x. (normop` T)) /\ ((abs` A) x. (normop` T)) <_ (normop` (A .op T)))))
48	46, 13, 47	syl11anc 524	. 2 |- (A e. CC -> ((normop` (A .op T)) = ((abs` A) x. (normop` T)) <-> ((normop` (A .op T)) <_ ((abs` A) x. (normop` T)) /\ ((abs` A) x. (normop` T)) <_ (normop` (A .op T)))))
49		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (A = 0 -> (abs` A) = (abs` 0))
50		abs0 8129	. . . . . . . 8 |- (abs` 0) = 0
51	49, 50	syl6eq 1944	. . . . . . 7 |- (A = 0 -> (abs` A) = 0)
52	51	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (A = 0 -> ((abs` A) x. (normop` T)) = (0 x. (normop` T)))
53	10	recni 6467	. . . . . . 7 |- (normop` T) e. CC
54	53	mul02i 6595	. . . . . 6 |- (0 x. (normop` T)) = 0
55	52, 54	syl6eq 1944	. . . . 5 |- (A = 0 -> ((abs` A) x. (normop` T)) = 0)
56	55	adantl 424	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A = 0) -> ((abs` A) x. (normop` T)) = 0)
57		nmopge0 11472	. . . . . 6 |- ((A .op T):~H-->~H -> 0 <_ (normop` (A .op T)))
58	5, 57	syl 12	. . . . 5 |- (A e. CC -> 0 <_ (normop` (A .op T)))
59	58	adantr 425	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A = 0) -> 0 <_ (normop` (A .op T)))
60	56, 59	eqbrtrd 3357	. . 3 |- ((A e. CC /\ A = 0) -> ((abs` A) x. (normop` T)) <_ (normop` (A .op T)))
61	46	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (normop` (A .op T)) e. RR)
62	8	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (abs` A) e. RR)
63		abs00 8104	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> ((abs` A) = 0 <-> A = 0))
64	63	necon3bid 2035	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> ((abs` A) =/= 0 <-> A =/= 0))
65	64	biimpar 461	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (abs` A) =/= 0)
66		redivcl 6978	. . . . . . . 8 |- (((normop` (A .op T)) e. RR /\ (abs` A) e. RR /\ (abs` A) =/= 0) -> ((normop` (A .op T)) / (abs` A)) e. RR)
67	61, 62, 65, 66	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((normop` (A .op T)) / (abs` A)) e. RR)
68		rexr 6668	. . . . . . 7 |- (((normop` (A .op T)) / (abs` A)) e. RR -> ((normop` (A .op T)) / (abs` A)) e. RR*)
69	67, 68	syl 12	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((normop` (A .op T)) / (abs` A)) e. RR*)
70		nmoplb 11468	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A .op T):~H-->~H /\ x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` ((A .op T)` x)) <_ (normop` (A .op T)))
71	70, 5	syl3an1 1130	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` ((A .op T)` x)) <_ (normop` (A .op T)))
72	71	3expa 1067	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` ((A .op T)` x)) <_ (normop` (A .op T)))
73	25, 72	eqbrtrrd 3359	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CC /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((abs` A) x. (normh` (T` x))) <_ (normop` (A .op T)))
74	73	adantllr 433	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((abs` A) x. (normh` (T` x))) <_ (normop` (A .op T)))
75	8	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. ~H) -> (abs` A) e. RR)
76	27	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. ~H) -> (normh` (T` x)) e. RR)
77	46	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. ~H) -> (normop` (A .op T)) e. RR)
78		absgt0 8145	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. CC -> (A =/= 0 <-> 0 < (abs` A)))
79	78	biimpa 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> 0 < (abs` A))
80	79	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. ~H) -> 0 < (abs` A))
81		lemuldiv2OLD 7060	. . . . . . . . . . 11 |- ((((abs` A) e. RR /\ (normh` (T` x)) e. RR /\ (normop` (A .op T)) e. RR) /\ 0 < (abs` A)) -> (((abs` A) x. (normh` (T` x))) <_ (normop` (A .op T)) <-> (normh` (T` x)) <_ ((normop` (A .op T)) / (abs` A))))
82	75, 76, 77, 80, 81	syl31anc 1103	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. ~H) -> (((abs` A) x. (normh` (T` x))) <_ (normop` (A .op T)) <-> (normh` (T` x)) <_ ((normop` (A .op T)) / (abs` A))))
83	82	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> (((abs` A) x. (normh` (T` x))) <_ (normop` (A .op T)) <-> (normh` (T` x)) <_ ((normop` (A .op T)) / (abs` A))))
84	74, 83	mpbid 212	. . . . . . . 8 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (T` x)) <_ ((normop` (A .op T)) / (abs` A)))
85	84	ex 402	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. ~H) -> ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ ((normop` (A .op T)) / (abs` A))))
86	85	r19.21aiva 2176	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ ((normop` (A .op T)) / (abs` A))))
87		nmopub 11469	. . . . . . 7 |- ((T:~H-->~H /\ ((normop` (A .op T)) / (abs` A)) e. RR* /\ A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ ((normop` (A .op T)) / (abs` A)))) -> (normop` T) <_ ((normop` (A .op T)) / (abs` A)))
88	3, 87	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- ((((normop` (A .op T)) / (abs` A)) e. RR* /\ A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ ((normop` (A .op T)) / (abs` A)))) -> (normop` T) <_ ((normop` (A .op T)) / (abs` A)))
89	69, 86, 88	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (normop` T) <_ ((normop` (A .op T)) / (abs` A)))
90	10	a1i 8	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (normop` T) e. RR)
91		lemuldiv2OLD 7060	. . . . . 6 |- ((((abs` A) e. RR /\ (normop` T) e. RR /\ (normop` (A .op T)) e. RR) /\ 0 < (abs` A)) -> (((abs` A) x. (normop` T)) <_ (normop` (A .op T)) <-> (normop` T) <_ ((normop` (A .op T)) / (abs` A))))
92	62, 90, 61, 79, 91	syl31anc 1103	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (((abs` A) x. (normop` T)) <_ (normop` (A .op T)) <-> (normop` T) <_ ((normop` (A .op T)) / (abs` A))))
93	89, 92	mpbird 213	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((abs` A) x. (normop` T)) <_ (normop` (A .op T)))
94		df-ne 2019	. . . 4 |- (A =/= 0 <-> -. A = 0)
95	93, 94	sylan2br 502	. . 3 |- ((A e. CC /\ -. A = 0) -> ((abs` A) x. (normop` T)) <_ (normop` (A .op T)))
96	60, 95	pm2.61dan 535	. 2 |- (A e. CC -> ((abs` A) x. (normop` T)) <_ (normop` (A .op T)))
97	48, 44, 96	mpbir2and 802	1 |- (A e. CC -> (normop` (A .op T)) = ((abs` A) x. (normop` T)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448   -oocmnf 6651  RR*cxr 6652   < clt 6653  abscabs 8000  ~Hchil 10420   .h csm 10422  normhcno 10426   .op chot 10440  norm_opcnop 10446  BndLinOpcbo 10449

This theorem is referenced by:  bdophmi 11599

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-homul 11140  df-nmop 11402  df-lnop 11404  df-bdop 11405

Copyright terms: Public domain