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Theorem nmophmi 27087
Description: The norm of the scalar product of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmophm.1  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmophmi  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )

Proof of Theorem nmophmi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmophm.1 . . . . . . . . . . 11  |-  T  e.  BndLinOp
2 bdopf 26918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
4 homval 26797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  x )  =  ( A  .h  ( T `  x ) ) )
53, 4mp3an2 1310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  x )  =  ( A  .h  ( T `  x ) ) )
65fveq2d 5791 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  =  ( normh `  ( A  .h  ( T `  x
) ) ) )
73ffvelrni 5945 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
8 norm-iii 26195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  ~H )  -> 
( normh `  ( A  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
97, 8sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( A  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
106, 9eqtrd 2433 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
1110adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
12 normcl 26180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
137, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
1413ad2antlr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
15 abscl 13132 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
16 absge0 13141 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
1715, 16jca 530 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )
1817ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )
19 nmoplb 26963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
203, 19mp3an1 1309 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
2120adantll 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
22 nmopre 26926 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  T )  e.  RR
24 lemul2a 10332 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( ( abs `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) ) )
2523, 24mp3anl2 1317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) ) )
2614, 18, 21, 25syl21anc 1225 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
2711, 26eqbrtrd 4400 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
2827ex 432 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
2928ralrimiva 2806 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
30 homulcl 26815 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A  .op  T
) : ~H --> ~H )
313, 30mpan2 669 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .op  T ) : ~H --> ~H )
32 remulcl 9506 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR )
3315, 23, 32sylancl 660 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR )
3433rexrd 9572 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e. 
RR* )
35 nmopub 26964 . . . 4  |-  ( ( ( A  .op  T
) : ~H --> ~H  /\  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e. 
RR* )  ->  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) ) )
3631, 34, 35syl2anc 659 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) ) )
3729, 36mpbird 232 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
38 fveq2 5787 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  0
) )
39 abs0 13139 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  0 )  =  0
4038, 39syl6eq 2449 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  0 )
4140oveq1d 6229 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  =  ( 0  x.  ( normop `  T ) ) )
4223recni 9537 . . . . . . 7  |-  ( normop `  T )  e.  CC
4342mul02i 9698 . . . . . 6  |-  ( 0  x.  ( normop `  T
) )  =  0
4441, 43syl6eq 2449 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  =  0 )
4544adantl 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =  0 )  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  =  0 )
46 nmopge0 26967 . . . . . 6  |-  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  ( A  .op  T ) ) )
4731, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( normop `  ( A  .op  T ) ) )
4847adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =  0 )  ->  0  <_  ( normop `  ( A  .op  T
) ) )
4945, 48eqbrtrd 4400 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =  0 )  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
50 nmoplb 26963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .op  T
) : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5131, 50syl3an1 1259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
52513expa 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5311, 52eqbrtrrd 4402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5453adantllr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5513adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR )
56 nmopxr 26922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR* )
5731, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR* )
58 nmopgtmnf 26924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  -> -oo 
<  ( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5931, 58syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  -> -oo  <  (
normop `  ( A  .op  T ) ) )
60 xrre 11309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR*  /\  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  ( normop `  ( A  .op  T ) )  /\  ( normop `  ( A  .op  T ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) ) ) )  ->  ( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR )
6157, 33, 59, 37, 60syl22anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR )
6261ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR )
6315ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
64 absgt0 13178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  A ) ) )
6564biimpa 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <  ( abs `  A ) )
6665adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  0  <  ( abs `  A ) )
67 lemuldiv2 10359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  A
) ) )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( normop `  ( A  .op  T ) )  <-> 
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
6855, 62, 63, 66, 67syl112anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x )
) )  <_  ( normop `  ( A  .op  T
) )  <->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  / 
( abs `  A
) ) ) )
6968adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) )  <->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  / 
( abs `  A
) ) ) )
7054, 69mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) )
7170ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
7271ralrimiva 2806 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
7361adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR )
7415adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
75 abs00 13143 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )
7675necon3bid 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  0 ) )
7776biimpar 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
7873, 74, 77redivcld 10307 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) )  e.  RR )
7978rexrd 9572 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) )  e.  RR* )
80 nmopub 26964 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) )  e.  RR* )  ->  ( ( normop `  T )  <_  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  / 
( abs `  A
) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
813, 79, 80sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  /  ( abs `  A ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
8272, 81mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( normop `  T )  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) )
8323a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( normop `  T )  e.  RR )
84 lemuldiv2 10359 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  A
) ) )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) )  <->  ( normop `  T
)  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
8583, 73, 74, 65, 84syl112anc 1230 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) )  <->  ( normop `  T
)  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
8682, 85mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
8749, 86pm2.61dane 2710 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
8861, 33letri3d 9656 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  /\  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) ) ) )
8937, 87, 88mpbir2and 920 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2587   A.wral 2742   class class class wbr 4380   -->wf 5505   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   CCcc 9419   RRcr 9420   0cc0 9421   1c1 9422    x. cmul 9426   -oocmnf 9555   RR*cxr 9556    < clt 9557    <_ cle 9558    / cdiv 10141   abscabs 13088   ~Hchil 25974    .h csm 25976   normhcno 25978    .op chot 25994   normopcnop 26000   BndLinOpcbo 26003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499  ax-hilex 26054  ax-hfvadd 26055  ax-hvcom 26056  ax-hvass 26057  ax-hv0cl 26058  ax-hvaddid 26059  ax-hfvmul 26060  ax-hvmulid 26061  ax-hvmulass 26062  ax-hvdistr1 26063  ax-hvdistr2 26064  ax-hvmul0 26065  ax-hfi 26134  ax-his1 26137  ax-his2 26138  ax-his3 26139  ax-his4 26140
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-er 7247  df-map 7358  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-sup 7834  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-4 10531  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-rp 11158  df-seq 12030  df-exp 12089  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090  df-grpo 25331  df-gid 25332  df-ablo 25422  df-vc 25577  df-nv 25623  df-va 25626  df-ba 25627  df-sm 25628  df-0v 25629  df-nmcv 25631  df-hnorm 26023  df-hba 26024  df-hvsub 26026  df-homul 26787  df-nmop 26895  df-lnop 26897  df-bdop 26898
This theorem is referenced by:  bdophmi  27088
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