HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopgt0 Structured version   Unicode version

Theorem nmopgt0 26645
Description: A linear Hilbert space operator that is not identically zero has a positive norm. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopgt0  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( normop `  T ) ) )

Proof of Theorem nmopgt0
StepHypRef Expression
1 nmopxr 26599 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  e. 
RR* )
2 nmopge0 26644 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
3 0xr 9652 . . . 4  |-  0  e.  RR*
4 xrleltne 11363 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( normop `  T )  e.  RR*  /\  0  <_  ( normop `  T
) )  ->  (
0  <  ( normop `  T
)  <->  ( normop `  T
)  =/=  0 ) )
53, 4mp3an1 1311 . . 3  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( 0  <  ( normop `  T
)  <->  ( normop `  T
)  =/=  0 ) )
61, 2, 5syl2anc 661 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( 0  <  ( normop `  T )  <->  ( normop `  T
)  =/=  0 ) )
76bicomd 201 1  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( normop `  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453   -->wf 5590   ` cfv 5594   0cc0 9504   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   ~Hchil 25650   normopcnop 25676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-hilex 25730  ax-hfvadd 25731  ax-hvcom 25732  ax-hvass 25733  ax-hv0cl 25734  ax-hvaddid 25735  ax-hfvmul 25736  ax-hvmulid 25737  ax-hvmulass 25738  ax-hvdistr1 25739  ax-hvdistr2 25740  ax-hvmul0 25741  ax-hfi 25810  ax-his1 25813  ax-his2 25814  ax-his3 25815  ax-his4 25816
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-grpo 25007  df-gid 25008  df-ablo 25098  df-vc 25253  df-nv 25299  df-va 25302  df-ba 25303  df-sm 25304  df-0v 25305  df-nmcv 25307  df-hnorm 25699  df-hba 25700  df-hvsub 25702  df-nmop 26572
This theorem is referenced by:  nmlnopgt0i  26730  nmopcoi  26828  nmopleid  26872
  Copyright terms: Public domain W3C validator