HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopgt0 Structured version   Unicode version

Theorem nmopgt0 25321
Description: A linear Hilbert space operator that is not identically zero has a positive norm. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopgt0  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( normop `  T ) ) )

Proof of Theorem nmopgt0
StepHypRef Expression
1 nmopxr 25275 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  e. 
RR* )
2 nmopge0 25320 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
3 0xr 9435 . . . 4  |-  0  e.  RR*
4 xrleltne 11127 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( normop `  T )  e.  RR*  /\  0  <_  ( normop `  T
) )  ->  (
0  <  ( normop `  T
)  <->  ( normop `  T
)  =/=  0 ) )
53, 4mp3an1 1301 . . 3  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( 0  <  ( normop `  T
)  <->  ( normop `  T
)  =/=  0 ) )
61, 2, 5syl2anc 661 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( 0  <  ( normop `  T )  <->  ( normop `  T
)  =/=  0 ) )
76bicomd 201 1  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( normop `  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1756    =/= wne 2611   class class class wbr 4297   -->wf 5419   ` cfv 5423   0cc0 9287   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424   ~Hchil 24326   normopcnop 24352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-hilex 24406  ax-hfvadd 24407  ax-hvcom 24408  ax-hvass 24409  ax-hv0cl 24410  ax-hvaddid 24411  ax-hfvmul 24412  ax-hvmulid 24413  ax-hvmulass 24414  ax-hvdistr1 24415  ax-hvdistr2 24416  ax-hvmul0 24417  ax-hfi 24486  ax-his1 24489  ax-his2 24490  ax-his3 24491  ax-his4 24492
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-grpo 23683  df-gid 23684  df-ablo 23774  df-vc 23929  df-nv 23975  df-va 23978  df-ba 23979  df-sm 23980  df-0v 23981  df-nmcv 23983  df-hnorm 24375  df-hba 24376  df-hvsub 24378  df-nmop 25248
This theorem is referenced by:  nmlnopgt0i  25406  nmopcoi  25504  nmopleid  25548
  Copyright terms: Public domain W3C validator