HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopgt0 Structured version   Unicode version

Theorem nmopgt0 26958
Description: A linear Hilbert space operator that is not identically zero has a positive norm. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopgt0  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( normop `  T ) ) )

Proof of Theorem nmopgt0
StepHypRef Expression
1 nmopxr 26912 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  e. 
RR* )
2 nmopge0 26957 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
3 0xr 9657 . . . 4  |-  0  e.  RR*
4 xrleltne 11376 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( normop `  T )  e.  RR*  /\  0  <_  ( normop `  T
) )  ->  (
0  <  ( normop `  T
)  <->  ( normop `  T
)  =/=  0 ) )
53, 4mp3an1 1311 . . 3  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( 0  <  ( normop `  T
)  <->  ( normop `  T
)  =/=  0 ) )
61, 2, 5syl2anc 661 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( 0  <  ( normop `  T )  <->  ( normop `  T
)  =/=  0 ) )
76bicomd 201 1  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( normop `  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1819    =/= wne 2652   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594   0cc0 9509   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   ~Hchil 25963   normopcnop 25989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-hilex 26043  ax-hfvadd 26044  ax-hvcom 26045  ax-hvass 26046  ax-hv0cl 26047  ax-hvaddid 26048  ax-hfvmul 26049  ax-hvmulid 26050  ax-hvmulass 26051  ax-hvdistr1 26052  ax-hvdistr2 26053  ax-hvmul0 26054  ax-hfi 26123  ax-his1 26126  ax-his2 26127  ax-his3 26128  ax-his4 26129
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-nmcv 25620  df-hnorm 26012  df-hba 26013  df-hvsub 26015  df-nmop 26885
This theorem is referenced by:  nmlnopgt0i  27043  nmopcoi  27141  nmopleid  27185
  Copyright terms: Public domain W3C validator