HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopge0 Structured version   Unicode version

Theorem nmopge0 25487
Description: The norm of any Hilbert space operator is nonnegative. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopge0  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )

Proof of Theorem nmopge0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 24577 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
2 ffvelrn 5953 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  0h  e.  ~H )  -> 
( T `  0h )  e.  ~H )
31, 2mpan2 671 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( T `  0h )  e.  ~H )
4 normge0 24700 . . 3  |-  ( ( T `  0h )  e.  ~H  ->  0  <_  (
normh `  ( T `  0h ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  0h )
) )
6 norm0 24702 . . . 4  |-  ( normh `  0h )  =  0
7 0le1 9977 . . . 4  |-  0  <_  1
86, 7eqbrtri 4422 . . 3  |-  ( normh `  0h )  <_  1
9 nmoplb 25483 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  0h  e.  ~H  /\  ( normh `  0h )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )
101, 8, 9mp3an23 1307 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )
11 normcl 24699 . . . . 5  |-  ( ( T `  0h )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR )
123, 11syl 16 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR )
1312rexrd 9547 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR* )
14 nmopxr 25442 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  e. 
RR* )
15 0xr 9544 . . . 4  |-  0  e.  RR*
16 xrletr 11246 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR*  /\  ( normop `  T )  e.  RR* )  ->  (
( 0  <_  ( normh `  ( T `  0h ) )  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )  -> 
0  <_  ( normop `  T
) ) )
1715, 16mp3an1 1302 . . 3  |-  ( ( ( normh `  ( T `  0h ) )  e. 
RR*  /\  ( normop `  T
)  e.  RR* )  ->  ( ( 0  <_ 
( normh `  ( T `  0h ) )  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  0  <_  (
normop `  T ) ) )
1813, 14, 17syl2anc 661 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( ( 0  <_  ( normh `  ( T `  0h ) )  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )  -> 
0  <_  ( normop `  T
) ) )
195, 10, 18mp2and 679 1  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   -->wf 5525   ` cfv 5529   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397   RR*cxr 9531    <_ cle 9533   ~Hchil 24493   normhcno 24497   0hc0v 24498   normopcnop 24519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-hilex 24573  ax-hfvadd 24574  ax-hvcom 24575  ax-hvass 24576  ax-hv0cl 24577  ax-hvaddid 24578  ax-hfvmul 24579  ax-hvmulid 24580  ax-hvmulass 24581  ax-hvdistr1 24582  ax-hvdistr2 24583  ax-hvmul0 24584  ax-hfi 24653  ax-his1 24656  ax-his2 24657  ax-his3 24658  ax-his4 24659
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-grpo 23850  df-gid 23851  df-ablo 23941  df-vc 24096  df-nv 24142  df-va 24145  df-ba 24146  df-sm 24147  df-0v 24148  df-nmcv 24150  df-hnorm 24542  df-hba 24543  df-hvsub 24545  df-nmop 25415
This theorem is referenced by:  nmopgt0  25488  nmophmi  25607  cnlnadjlem7  25649  nmopadjlem  25665  nmopcoadji  25677  opsqrlem1  25716
  Copyright terms: Public domain W3C validator