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Theorem nmopcoi 26828
Description: Upper bound for the norm of the composition of two bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1  |-  S  e.  BndLinOp
nmoptri.2  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoi  |-  ( normop `  ( S  o.  T
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)

Proof of Theorem nmopcoi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . . 6  |-  S  e.  BndLinOp
2 bdopln 26594 . . . . . 6  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S  e.  LinOp )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  S  e. 
LinOp
4 nmoptri.2 . . . . . 6  |-  T  e.  BndLinOp
5 bdopln 26594 . . . . . 6  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  LinOp )
64, 5ax-mp 5 . . . . 5  |-  T  e. 
LinOp
73, 6lnopcoi 26736 . . . 4  |-  ( S  o.  T )  e. 
LinOp
87lnopfi 26702 . . 3  |-  ( S  o.  T ) : ~H --> ~H
9 nmopre 26603 . . . . . 6  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  S
)  e.  RR )
101, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( normop `  S )  e.  RR
11 nmopre 26603 . . . . . 6  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
124, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( normop `  T )  e.  RR
1310, 12remulcli 9622 . . . 4  |-  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)  e.  RR
1413rexri 9658 . . 3  |-  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)  e.  RR*
15 nmopub 26641 . . 3  |-  ( ( ( S  o.  T
) : ~H --> ~H  /\  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) )  e. 
RR* )  ->  (
( normop `  ( S  o.  T ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) ) ) )
168, 14, 15mp2an 672 . 2  |-  ( (
normop `  ( S  o.  T ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
17 0le0 10637 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  x  e.  ~H )  ->  0  <_  0 )
193, 6lnopco0i 26737 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  T )  =  0  ->  ( normop `  ( S  o.  T )
)  =  0 )
207nmlnop0iHIL 26729 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  ( S  o.  T ) )  =  0  <->  ( S  o.  T )  =  0hop )
2119, 20sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
normop `  T )  =  0  ->  ( S  o.  T )  =  0hop )
22 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  o.  T )  =  0hop  ->  ( ( S  o.  T ) `
 x )  =  ( 0hop `  x
) )
2322fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  o.  T )  =  0hop  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  =  (
normh `  ( 0hop `  x
) ) )
24 ho0val 26483 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( 0hop `  x )  =  0h )
2524fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( 0hop `  x
) )  =  (
normh `  0h ) )
26 norm0 25859 . . . . . . . . 9  |-  ( normh `  0h )  =  0
2725, 26syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( 0hop `  x
) )  =  0 )
2823, 27sylan9eq 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  o.  T
)  =  0hop  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  =  0 )
2921, 28sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  =  0 )
30 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  T )  =  0  ->  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  T ) )  =  ( ( normop `  S
)  x.  0 ) )
3110recni 9620 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  S )  e.  CC
3231mul01i 9781 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  S )  x.  0 )  =  0
3330, 32syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( (
normop `  T )  =  0  ->  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  T ) )  =  0 )
3433adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)  =  0 )
3518, 29, 343brtr4d 4483 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
3635adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
37 df-ne 2664 . . . . 5  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  <->  -.  ( normop `  T
)  =  0 )
388ffvelrni 6031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  x )  e.  ~H )
39 normcl 25856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  o.  T
) `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  e.  RR )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  RR )
4140recnd 9634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  CC )
4212recni 9620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( normop `  T )  e.  CC
43 divrec2 10236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
4442, 43mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
4541, 44sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
4645ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
4712rerecclzi 10320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  RR )
48 bdopf 26595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
494, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T : ~H
--> ~H
50 nmopgt0 26645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( normop `  T ) ) )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( normop `  T ) )
5212recgt0i 10462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <  ( normop `  T
)  ->  0  <  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )
5351, 52sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  0  <  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )
54 0re 9608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
55 ltle 9685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  RR )  ->  (
0  <  ( 1  /  ( normop `  T
) )  ->  0  <_  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) )
5654, 55mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  RR  ->  ( 0  <  ( 1  / 
( normop `  T )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) )
5747, 53, 56sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  0  <_  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )
5847, 57absidd 13234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( abs `  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )  =  ( 1  / 
( normop `  T )
) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( 1  / 
( normop `  T )
) )  =  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )
6059oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
) )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
6146, 60eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( abs `  ( 1  /  ( normop `  T
) ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
6242recclzi 10281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  CC )
63 norm-iii 25871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( ( S  o.  T ) `
 x )  e. 
~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  (
( S  o.  T
) `  x )
) )  =  ( ( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
) ) )
6462, 38, 63syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  (
( S  o.  T
) `  x )
) )  =  ( ( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
) ) )
6561, 64eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( normh `  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( ( S  o.  T ) `
 x ) ) ) )
6649ffvelrni 6031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
673lnopmuli 26705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( T `
 x )  e. 
~H )  ->  ( S `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( S `
 ( T `  x ) ) ) )
6862, 66, 67syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( S `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( S `
 ( T `  x ) ) ) )
69 bdopf 26595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S : ~H --> ~H )
701, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S : ~H
--> ~H
7170, 49hocoi 26497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  x )  =  ( S `  ( T `  x ) ) )
7271oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( S `  ( T `  x )
) ) )
7372adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( S `  ( T `  x )
) ) )
7468, 73eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( S `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( ( S  o.  T ) `
 x ) ) )
7574fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( S `  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) ) ) )  =  (
normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  (
( S  o.  T
) `  x )
) ) )
7665, 75eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( normh `  ( S `  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) ) ) )
7776adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  =  ( normh `  ( S `  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) ) ) ) )
78 hvmulcl 25744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( T `
 x )  e. 
~H )  ->  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) )  e.  ~H )
7962, 66, 78syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) )  e.  ~H )
8079adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) )  e.  ~H )
81 norm-iii 25871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( T `
 x )  e. 
~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  =  ( ( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  ( T `  x )
) ) )
8262, 66, 81syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  =  ( ( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  ( T `  x )
) ) )
83 normcl 25856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
8466, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
8584recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  CC )
86 divrec2 10236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
8742, 86mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( ( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
8885, 87sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
8988ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
9059oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  ( T `  x )
) )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
9189, 90eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( abs `  ( 1  /  ( normop `  T
) ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
9282, 91eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  =  ( ( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
) )
9392adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) ) )
94 nmoplb 26640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
9549, 94mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
9642mulid2i 9611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  ( normop `  T
) )  =  (
normop `  T )
9795, 96syl6breqr 4493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( 1  x.  ( normop `  T ) ) )
9897adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( 1  x.  ( normop `  T ) ) )
9984adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
100 1red 9623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  1  e.  RR )
10112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  ( normop `  T )  e.  RR )
10251biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  0  <  (
normop `  T ) )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  0  <  ( normop `  T )
)
104 ledivmul2 10434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( (
normop `  T )  e.  RR  /\  0  < 
( normop `  T )
) )  ->  (
( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  x.  ( normop `  T
) ) ) )
10599, 100, 101, 103, 104syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  x.  ( normop `  T
) ) ) )
106105ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  x.  ( normop `  T
) ) ) )
107106adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( normh `  ( T `  x
) )  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  x.  ( normop `  T
) ) ) )
10898, 107mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1 )
10993, 108eqbrtrd 4473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  <_ 
1 )
110 nmoplb 26640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) )  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  <_  1
)  ->  ( normh `  ( S `  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) ) )  <_  ( normop `  S
) )
11170, 110mp3an1 1311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) )  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  <_  1
)  ->  ( normh `  ( S `  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) ) )  <_  ( normop `  S
) )
11280, 109, 111syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( S `  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) ) ) )  <_  ( normop `  S ) )
11377, 112eqbrtrd 4473 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  S )
)
11440ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  RR )
11510a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normop `  S )  e.  RR )
116102adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
0  <  ( normop `  T
) )
117116, 12jctil 537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normop `  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( normop `  T
) ) )
118 ledivmul2 10434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  RR  /\  ( normop `  S )  e.  RR  /\  ( ( normop `  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( normop `  T
) ) )  -> 
( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  /  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  S )  <->  (
normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
119114, 115, 117, 118syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  /  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  S )  <->  (
normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
120113, 119mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
12137, 120sylanbr 473 . . . 4  |-  ( ( -.  ( normop `  T
)  =  0  /\  ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
12236, 121pm2.61ian 788 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
123122ex 434 . 2  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  T )
) ) )
12416, 123mprgbir 2831 1  |-  ( normop `  ( S  o.  T
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   class class class wbr 4453    o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    / cdiv 10218   abscabs 13047   ~Hchil 25650    .h csm 25652   normhcno 25654   0hc0v 25655   0hopch0o 25674   normopcnop 25676   LinOpclo 25678   BndLinOpcbo 25679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584  ax-hilex 25730  ax-hfvadd 25731  ax-hvcom 25732  ax-hvass 25733  ax-hv0cl 25734  ax-hvaddid 25735  ax-hfvmul 25736  ax-hvmulid 25737  ax-hvmulass 25738  ax-hvdistr1 25739  ax-hvdistr2 25740  ax-hvmul0 25741  ax-hfi 25810  ax-his1 25813  ax-his2 25814  ax-his3 25815  ax-his4 25816  ax-hcompl 25933
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-lm 19598  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cfil 21562  df-cau 21563  df-cmet 21564  df-grpo 25007  df-gid 25008  df-ginv 25009  df-gdiv 25010  df-ablo 25098  df-subgo 25118  df-vc 25253  df-nv 25299  df-va 25302  df-ba 25303  df-sm 25304  df-0v 25305  df-vs 25306  df-nmcv 25307  df-ims 25308  df-dip 25425  df-ssp 25449  df-lno 25473  df-nmoo 25474  df-0o 25476  df-ph 25542  df-cbn 25593  df-hnorm 25699  df-hba 25700  df-hvsub 25702  df-hlim 25703  df-hcau 25704  df-sh 25938  df-ch 25953  df-oc 25984  df-ch0 25985  df-shs 26040  df-pjh 26127  df-h0op 26481  df-nmop 26572  df-lnop 26574  df-bdop 26575  df-hmop 26577
This theorem is referenced by:  bdopcoi  26831  unierri  26837
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