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Theorem nmopcoi 25671
Description: Upper bound for the norm of the composition of two bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1  |-  S  e.  BndLinOp
nmoptri.2  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoi  |-  ( normop `  ( S  o.  T
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)

Proof of Theorem nmopcoi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . . 6  |-  S  e.  BndLinOp
2 bdopln 25437 . . . . . 6  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S  e.  LinOp )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  S  e. 
LinOp
4 nmoptri.2 . . . . . 6  |-  T  e.  BndLinOp
5 bdopln 25437 . . . . . 6  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  LinOp )
64, 5ax-mp 5 . . . . 5  |-  T  e. 
LinOp
73, 6lnopcoi 25579 . . . 4  |-  ( S  o.  T )  e. 
LinOp
87lnopfi 25545 . . 3  |-  ( S  o.  T ) : ~H --> ~H
9 nmopre 25446 . . . . . 6  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  S
)  e.  RR )
101, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( normop `  S )  e.  RR
11 nmopre 25446 . . . . . 6  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
124, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( normop `  T )  e.  RR
1310, 12remulcli 9514 . . . 4  |-  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)  e.  RR
1413rexri 9550 . . 3  |-  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)  e.  RR*
15 nmopub 25484 . . 3  |-  ( ( ( S  o.  T
) : ~H --> ~H  /\  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) )  e. 
RR* )  ->  (
( normop `  ( S  o.  T ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) ) ) )
168, 14, 15mp2an 672 . 2  |-  ( (
normop `  ( S  o.  T ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
17 0le0 10525 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  x  e.  ~H )  ->  0  <_  0 )
193, 6lnopco0i 25580 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  T )  =  0  ->  ( normop `  ( S  o.  T )
)  =  0 )
207nmlnop0iHIL 25572 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  ( S  o.  T ) )  =  0  <->  ( S  o.  T )  =  0hop )
2119, 20sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
normop `  T )  =  0  ->  ( S  o.  T )  =  0hop )
22 fveq1 5801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  o.  T )  =  0hop  ->  ( ( S  o.  T ) `
 x )  =  ( 0hop `  x
) )
2322fveq2d 5806 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  o.  T )  =  0hop  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  =  (
normh `  ( 0hop `  x
) ) )
24 ho0val 25326 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( 0hop `  x )  =  0h )
2524fveq2d 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( 0hop `  x
) )  =  (
normh `  0h ) )
26 norm0 24702 . . . . . . . . 9  |-  ( normh `  0h )  =  0
2725, 26syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( 0hop `  x
) )  =  0 )
2823, 27sylan9eq 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  o.  T
)  =  0hop  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  =  0 )
2921, 28sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  =  0 )
30 oveq2 6211 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  T )  =  0  ->  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  T ) )  =  ( ( normop `  S
)  x.  0 ) )
3110recni 9512 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  S )  e.  CC
3231mul01i 9673 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  S )  x.  0 )  =  0
3330, 32syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( (
normop `  T )  =  0  ->  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  T ) )  =  0 )
3433adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)  =  0 )
3518, 29, 343brtr4d 4433 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
3635adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
37 df-ne 2650 . . . . 5  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  <->  -.  ( normop `  T
)  =  0 )
388ffvelrni 5954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  x )  e.  ~H )
39 normcl 24699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  o.  T
) `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  e.  RR )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  RR )
4140recnd 9526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  CC )
4212recni 9512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( normop `  T )  e.  CC
43 divrec2 10125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
4442, 43mp3an2 1303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
4541, 44sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
4645ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
4712rerecclzi 10209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  RR )
48 bdopf 25438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
494, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T : ~H
--> ~H
50 nmopgt0 25488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( normop `  T ) ) )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( normop `  T ) )
5212recgt0i 10351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <  ( normop `  T
)  ->  0  <  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )
5351, 52sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  0  <  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )
54 0re 9500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
55 ltle 9577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  RR )  ->  (
0  <  ( 1  /  ( normop `  T
) )  ->  0  <_  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) )
5654, 55mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  RR  ->  ( 0  <  ( 1  / 
( normop `  T )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) )
5747, 53, 56sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  0  <_  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )
5847, 57absidd 13030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( abs `  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )  =  ( 1  / 
( normop `  T )
) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( 1  / 
( normop `  T )
) )  =  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )
6059oveq1d 6218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
) )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
6146, 60eqtr4d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( abs `  ( 1  /  ( normop `  T
) ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
6242recclzi 10170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  CC )
63 norm-iii 24714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( ( S  o.  T ) `
 x )  e. 
~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  (
( S  o.  T
) `  x )
) )  =  ( ( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
) ) )
6462, 38, 63syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  (
( S  o.  T
) `  x )
) )  =  ( ( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
) ) )
6561, 64eqtr4d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( normh `  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( ( S  o.  T ) `
 x ) ) ) )
6649ffvelrni 5954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
673lnopmuli 25548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( T `
 x )  e. 
~H )  ->  ( S `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( S `
 ( T `  x ) ) ) )
6862, 66, 67syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( S `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( S `
 ( T `  x ) ) ) )
69 bdopf 25438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S : ~H --> ~H )
701, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S : ~H
--> ~H
7170, 49hocoi 25340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  x )  =  ( S `  ( T `  x ) ) )
7271oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( S `  ( T `  x )
) ) )
7372adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( S `  ( T `  x )
) ) )
7468, 73eqtr4d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( S `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( ( S  o.  T ) `
 x ) ) )
7574fveq2d 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( S `  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) ) ) )  =  (
normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  (
( S  o.  T
) `  x )
) ) )
7665, 75eqtr4d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( normh `  ( S `  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) ) ) )
7776adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  =  ( normh `  ( S `  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) ) ) ) )
78 hvmulcl 24587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( T `
 x )  e. 
~H )  ->  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) )  e.  ~H )
7962, 66, 78syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) )  e.  ~H )
8079adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) )  e.  ~H )
81 norm-iii 24714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( T `
 x )  e. 
~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  =  ( ( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  ( T `  x )
) ) )
8262, 66, 81syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  =  ( ( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  ( T `  x )
) ) )
83 normcl 24699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
8466, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
8584recnd 9526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  CC )
86 divrec2 10125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
8742, 86mp3an2 1303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( ( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
8885, 87sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
8988ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
9059oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  ( T `  x )
) )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
9189, 90eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( abs `  ( 1  /  ( normop `  T
) ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
9282, 91eqtr4d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  =  ( ( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
) )
9392adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) ) )
94 nmoplb 25483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
9549, 94mp3an1 1302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
9642mulid2i 9503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  ( normop `  T
) )  =  (
normop `  T )
9795, 96syl6breqr 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( 1  x.  ( normop `  T ) ) )
9897adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( 1  x.  ( normop `  T ) ) )
9984adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
100 1red 9515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  1  e.  RR )
10112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  ( normop `  T )  e.  RR )
10251biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  0  <  (
normop `  T ) )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  0  <  ( normop `  T )
)
104 ledivmul2 10323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( (
normop `  T )  e.  RR  /\  0  < 
( normop `  T )
) )  ->  (
( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  x.  ( normop `  T
) ) ) )
10599, 100, 101, 103, 104syl112anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  x.  ( normop `  T
) ) ) )
106105ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  x.  ( normop `  T
) ) ) )
107106adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( normh `  ( T `  x
) )  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  x.  ( normop `  T
) ) ) )
10898, 107mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1 )
10993, 108eqbrtrd 4423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  <_ 
1 )
110 nmoplb 25483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) )  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  <_  1
)  ->  ( normh `  ( S `  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) ) )  <_  ( normop `  S
) )
11170, 110mp3an1 1302 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) )  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  <_  1
)  ->  ( normh `  ( S `  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) ) )  <_  ( normop `  S
) )
11280, 109, 111syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( S `  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) ) ) )  <_  ( normop `  S ) )
11377, 112eqbrtrd 4423 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  S )
)
11440ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  RR )
11510a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normop `  S )  e.  RR )
116102adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
0  <  ( normop `  T
) )
117116, 12jctil 537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normop `  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( normop `  T
) ) )
118 ledivmul2 10323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  RR  /\  ( normop `  S )  e.  RR  /\  ( ( normop `  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( normop `  T
) ) )  -> 
( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  /  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  S )  <->  (
normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
119114, 115, 117, 118syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  /  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  S )  <->  (
normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
120113, 119mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
12137, 120sylanbr 473 . . . 4  |-  ( ( -.  ( normop `  T
)  =  0  /\  ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
12236, 121pm2.61ian 788 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
123122ex 434 . 2  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  T )
) ) )
12416, 123mprgbir 2904 1  |-  ( normop `  ( S  o.  T
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   class class class wbr 4403    o. ccom 4955   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    x. cmul 9401   RR*cxr 9531    < clt 9532    <_ cle 9533    / cdiv 10107   abscabs 12844   ~Hchil 24493    .h csm 24495   normhcno 24497   0hc0v 24498   0hopch0o 24517   normopcnop 24519   LinOpclo 24521   BndLinOpcbo 24522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cc 8718  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476  ax-hilex 24573  ax-hfvadd 24574  ax-hvcom 24575  ax-hvass 24576  ax-hv0cl 24577  ax-hvaddid 24578  ax-hfvmul 24579  ax-hvmulid 24580  ax-hvmulass 24581  ax-hvdistr1 24582  ax-hvdistr2 24583  ax-hvmul0 24584  ax-hfi 24653  ax-his1 24656  ax-his2 24657  ax-his3 24658  ax-his4 24659  ax-hcompl 24776
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-acn 8226  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-lm 18968  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cfil 20901  df-cau 20902  df-cmet 20903  df-grpo 23850  df-gid 23851  df-ginv 23852  df-gdiv 23853  df-ablo 23941  df-subgo 23961  df-vc 24096  df-nv 24142  df-va 24145  df-ba 24146  df-sm 24147  df-0v 24148  df-vs 24149  df-nmcv 24150  df-ims 24151  df-dip 24268  df-ssp 24292  df-lno 24316  df-nmoo 24317  df-0o 24319  df-ph 24385  df-cbn 24436  df-hnorm 24542  df-hba 24543  df-hvsub 24545  df-hlim 24546  df-hcau 24547  df-sh 24781  df-ch 24796  df-oc 24827  df-ch0 24828  df-shs 24883  df-pjh 24970  df-h0op 25324  df-nmop 25415  df-lnop 25417  df-bdop 25418  df-hmop 25420
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