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Theorem nmopcoadji 22511
Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopcoadj.1  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoadji  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  =  ( (
normop `  T ) ^
2 )

Proof of Theorem nmopcoadji
StepHypRef Expression
1 nmopcoadj.1 . . . . . . 7  |-  T  e.  BndLinOp
2 adjbdlnb 22494 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  BndLinOp 
<->  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )
31, 2mpbi 201 . . . . . 6  |-  ( adjh `  T )  e.  BndLinOp
4 bdopf 22272 . . . . . 6  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
) : ~H --> ~H )
53, 4ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H
6 bdopf 22272 . . . . . 6  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
71, 6ax-mp 10 . . . . 5  |-  T : ~H
--> ~H
85, 7hocofi 22176 . . . 4  |-  ( (
adjh `  T )  o.  T ) : ~H --> ~H
9 nmopre 22280 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
101, 9ax-mp 10 . . . . . 6  |-  ( normop `  T )  e.  RR
1110resqcli 11067 . . . . 5  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  e.  RR
12 rexr 8757 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T ) ^ 2 )  e.  RR  ->  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  e.  RR* )
1311, 12ax-mp 10 . . . 4  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  e.  RR*
14 nmopub 22318 . . . 4  |-  ( ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) : ~H --> ~H  /\  ( ( normop `  T
) ^ 2 )  e.  RR* )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  <_ 
( ( normop `  T
) ^ 2 )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) ) ) )
158, 13, 14mp2an 656 . . 3  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( (
( adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) ) )
165, 7hocoi 22174 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  =  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )
1716fveq2d 5381 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  =  (
normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
1817adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  =  (
normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
197ffvelrni 5516 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
205ffvelrni 5516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  e.  ~H )
21 normcl 21534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) ) )  e.  RR )
2219, 20, 213syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
2322adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
24 nmopre 22280 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( normop `  ( adjh `  T ) )  e.  RR )
253, 24ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR
26 normcl 21534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
2719, 26syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
28 remulcl 8702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  ( adjh `  T ) )  e.  RR  /\  ( normh `  ( T `  x
) )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
2925, 27, 28sylancr 647 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
3029adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
3125, 10remulcli 8731 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR
3231a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
)  e.  RR )
333nmbdoplbi 22434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3419, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3534adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3627adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
3710a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normop `  T )  e.  RR )
38 normcl 21534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
39 remulcl 8702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
4010, 38, 39sylancr 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
4140adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
421nmbdoplbi 22434 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  x ) ) )
4342adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  x ) ) )
44 1re 8717 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
45 nmopge0 22321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
461, 6, 45mp2b 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  ( normop `  T )
4710, 46pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normop `  T )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  T )
)
48 lemul2a 9491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normop `  T )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  T )
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
4947, 48mp3anl3 1278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5044, 49mpanl2 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5138, 50sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5210recni 8729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normop `  T )  e.  CC
5352mulid1i 8719 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
normop `  T )  x.  1 )  =  (
normop `  T )
5451, 53syl6breq 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( normop `  T
) )
5536, 41, 37, 43, 54letrd 8853 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
56 nmopge0 22321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
adjh `  T ) : ~H --> ~H  ->  0  <_ 
( normop `  ( adjh `  T ) ) )
573, 4, 56mp2b 11 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) )
5825, 57pm3.2i 443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) ) )
59 lemul2a 9491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6058, 59mp3anl3 1278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6136, 37, 55, 60syl21anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6223, 30, 32, 35, 61letrd 8853 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
) )
6318, 62eqbrtrd 3940 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
) )
641nmopadji 22500 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( adjh `  T
) )  =  (
normop `  T )
6564oveq1i 5720 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  =  ( ( normop `  T
)  x.  ( normop `  T ) )
6652sqvali 11061 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normop `  T )
)
6765, 66eqtr4i 2276 . . . . 5  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  =  ( ( normop `  T
) ^ 2 )
6863, 67syl6breq 3959 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) )
6968ex 425 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
)  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 ) ) )
7015, 69mprgbir 2575 . 2  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 )
71 nmopge0 22321 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
728, 71ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )
733, 1bdopcoi 22508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
adjh `  T )  o.  T )  e.  BndLinOp
74 nmopre 22280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( adjh `  T
)  o.  T )  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR )
7573, 74ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  RR
7675sqrcli 11732 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR )
77 rexr 8757 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR  ->  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR* )
7872, 76, 77mp2b 11 . . . . . 6  |-  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  e.  RR*
79 nmopub 22318 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR* )  ->  ( ( normop `  T )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ) ) )
807, 78, 79mp2an 656 . . . . 5  |-  ( (
normop `  T )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ) )
8119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  e.  ~H )
82 hicl 21489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  e.  CC )
8381, 82mpancom 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  e.  CC )
8483abscld 11795 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  e.  RR )
8584adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  e.  RR )
8622, 38remulcld 8743 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
8786adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
8875a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  RR )
89 bcs 21590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )
)  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  x.  ( normh `  x ) ) )
9081, 89mpancom 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) ) )
9190adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) ) )
925, 7hococli 22175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  e. 
~H )
93 normcl 21534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x ) )  e.  RR )
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  e.  RR )
9594adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  e.  RR )
9638adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
97 normge0 21535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
9819, 20, 973syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) ) )
9922, 98jca 520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )
10099adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )
101 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  <_ 
1 )
102 lemul2a 9491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10344, 102mp3anl2 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  ( ( normh `  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) ) ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10496, 100, 101, 103syl21anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10522recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  CC )
106105mulid1d 8732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) )
107106, 17eqtr4d 2288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
) )
108107adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
) )
109104, 108breqtrd 3944 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( normh `  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x ) ) )
110 remulcl 8702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
11175, 38, 110sylancr 647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
112111adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
11373nmbdoplbi 22434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
) )
114113adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
) )
11575, 72pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
116 lemul2a 9491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  1 ) )
117115, 116mp3anl3 1278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  1 ) )
11844, 117mpanl2 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  1 ) )
11938, 118sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  1 ) )
12075recni 8729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  CC
121120mulid1i 8719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  x.  1 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
122119, 121syl6breq 3959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
12395, 112, 88, 114, 122letrd 8853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
12487, 95, 88, 109, 123letrd 8853 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
12585, 87, 88, 91, 124letrd 8853 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
126 resqcl 11049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  e.  RR )
127 sqge0 11058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
128126, 127absidd 11782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x )
) ^ 2 ) )  =  ( (
normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
12919, 26, 1283syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
130 normsq 21543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) ) )
13119, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) ) )
132 bdopadj 22492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  e.  dom  adjh )
1333, 132ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( adjh `  T )  e.  dom  adjh
134 adj2 22344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( adjh `  T
)  e.  dom  adjh  /\  ( T `  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T ) ) `
 x ) ) )
135133, 134mp3an1 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T ) ) `
 x ) ) )
13619, 135mpancom 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T
) ) `  x
) ) )
137 bdopadj 22492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  dom  adjh )
138 adjadj 22346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  ( adjh `  T ) )  =  T )
1391, 137, 138mp2b 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( adjh `  ( adjh `  T
) )  =  T
140139fveq1i 5378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
adjh `  ( adjh `  T ) ) `  x )  =  ( T `  x )
141140oveq2i 5721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  x ) 
.ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T
) ) `  x
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )
142136, 141syl6req 2302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )
)
143131, 142eqtrd 2285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) )
144143fveq2d 5381 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x
) ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
145129, 144eqtr3d 2287 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
146145adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
14775sqsqri 11736 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
1488, 71, 147mp2b 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
149148a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
150125, 146, 1493brtr4d 3950 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) )
151 normge0 21535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  x ) ) )
15219, 151syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  x ) ) )
1538, 71, 76mp2b 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  e.  RR
15475sqrge0i 11737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) )
1558, 71, 154mp2b 11 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
156 le2sq 11056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( T `  x )
) )  /\  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ) )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
157153, 155, 156mpanr12 669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( T `  x ) ) )  ->  ( ( normh `  ( T `  x
) )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <-> 
( ( normh `  ( T `  x )
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
15827, 152, 157syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
159158adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
160150, 159mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )
161160ex 425 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ) )
16280, 161mprgbir 2575 . . . 4  |-  ( normop `  T )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
16310, 153le2sqi 11071 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( normop `  T
)  /\  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <-> 
( ( normop `  T
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
16446, 155, 163mp2an 656 . . . 4  |-  ( (
normop `  T )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) )
165162, 164mpbi 201 . . 3  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )
166165, 148breqtri 3943 . 2  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
16775, 11letri3i 8814 . 2  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  =  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  <->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  /\  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )
16870, 166, 167mpbir2an 891 1  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  =  ( (
normop `  T ) ^
2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   class class class wbr 3920   dom cdm 4580    o. ccom 4584   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    x. cmul 8622   RR*cxr 8746    <_ cle 8748   2c2 9675   ^cexp 10982   sqrcsqr 11595   abscabs 11596   ~Hchil 21329    .ih csp 21332   normhcno 21333   normopcnop 21355   BndLinOpcbo 21358   adjhcado 21365
This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  22512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cc 7945  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697  ax-hilex 21409  ax-hfvadd 21410  ax-hvcom 21411  ax-hvass 21412  ax-hv0cl 21413  ax-hvaddid 21414  ax-hfvmul 21415  ax-hvmulid 21416  ax-hvmulass 21417  ax-hvdistr1 21418  ax-hvdistr2 21419  ax-hvmul0 21420  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his2 21492  ax-his3 21493  ax-his4 21494  ax-hcompl 21611
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-lm 16791  df-t1 16874  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cfil 18513  df-cau 18514  df-cmet 18515  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-gdiv 20691  df-ablo 20779  df-subgo 20799  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-vs 20985  df-nmcv 20986  df-ims 20987  df-dip 21104  df-ssp 21128  df-lno 21152  df-nmoo 21153  df-0o 21155  df-ph 21221  df-cbn 21272  df-hnorm 21378  df-hba 21379  df-hvsub 21381  df-hlim 21382  df-hcau 21383  df-sh 21616  df-ch 21631  df-oc 21661  df-ch0 21662  df-shs 21717  df-pjh 21804  df-h0op 22158  df-nmop 22249  df-cnop 22250  df-lnop 22251  df-bdop 22252  df-unop 22253  df-hmop 22254  df-nmfn 22255  df-nlfn 22256  df-cnfn 22257  df-lnfn 22258  df-adjh 22259
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