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Theorem nmopcoadji 25504
Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopcoadj.1  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoadji  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  =  ( (
normop `  T ) ^
2 )

Proof of Theorem nmopcoadji
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopcoadj.1 . . . . . . 7  |-  T  e.  BndLinOp
2 adjbdlnb 25487 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  BndLinOp 
<->  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )
31, 2mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( adjh `  T )  e.  BndLinOp
4 bdopf 25265 . . . . . 6  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
) : ~H --> ~H )
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H
6 bdopf 25265 . . . . . 6  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
71, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  T : ~H
--> ~H
85, 7hocofi 25169 . . . 4  |-  ( (
adjh `  T )  o.  T ) : ~H --> ~H
9 nmopre 25273 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( normop `  T )  e.  RR
1110resqcli 11950 . . . . 5  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  e.  RR
12 rexr 9428 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T ) ^ 2 )  e.  RR  ->  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  e.  RR* )
1311, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  e.  RR*
14 nmopub 25311 . . . 4  |-  ( ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) : ~H --> ~H  /\  ( ( normop `  T
) ^ 2 )  e.  RR* )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  <_ 
( ( normop `  T
) ^ 2 )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) ) ) )
158, 13, 14mp2an 672 . . 3  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( (
( adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) ) )
165, 7hocoi 25167 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  =  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )
1716fveq2d 5694 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  =  (
normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  =  (
normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
197ffvelrni 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
205ffvelrni 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  e.  ~H )
21 normcl 24526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) ) )  e.  RR )
2219, 20, 213syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
2322adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
24 nmopre 25273 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( normop `  ( adjh `  T ) )  e.  RR )
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR
26 normcl 24526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
2719, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
28 remulcl 9366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  ( adjh `  T ) )  e.  RR  /\  ( normh `  ( T `  x
) )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
2925, 27, 28sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
3029adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
3125, 10remulcli 9399 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
)  e.  RR )
333nmbdoplbi 25427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3419, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3534adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3627adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
3710a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normop `  T )  e.  RR )
38 normcl 24526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
39 remulcl 9366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
4010, 38, 39sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
4140adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
421nmbdoplbi 25427 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  x ) ) )
4342adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  x ) ) )
44 1re 9384 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
45 nmopge0 25314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
461, 6, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  ( normop `  T )
4710, 46pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normop `  T )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  T )
)
48 lemul2a 10183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normop `  T )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  T )
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
4947, 48mp3anl3 1310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5044, 49mpanl2 681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5138, 50sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5210recni 9397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normop `  T )  e.  CC
5352mulid1i 9387 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
normop `  T )  x.  1 )  =  (
normop `  T )
5451, 53syl6breq 4330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( normop `  T
) )
5536, 41, 37, 43, 54letrd 9527 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
56 nmopge0 25314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
adjh `  T ) : ~H --> ~H  ->  0  <_ 
( normop `  ( adjh `  T ) ) )
573, 4, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) )
5825, 57pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) ) )
59 lemul2a 10183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6058, 59mp3anl3 1310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6136, 37, 55, 60syl21anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6223, 30, 32, 35, 61letrd 9527 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
) )
6318, 62eqbrtrd 4311 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
) )
641nmopadji 25493 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( adjh `  T
) )  =  (
normop `  T )
6564oveq1i 6100 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  =  ( ( normop `  T
)  x.  ( normop `  T ) )
6652sqvali 11944 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normop `  T )
)
6765, 66eqtr4i 2465 . . . . 5  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  =  ( ( normop `  T
) ^ 2 )
6863, 67syl6breq 4330 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) )
6968ex 434 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
)  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 ) ) )
7015, 69mprgbir 2785 . 2  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 )
71 nmopge0 25314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
728, 71ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )
733, 1bdopcoi 25501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
adjh `  T )  o.  T )  e.  BndLinOp
74 nmopre 25273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( adjh `  T
)  o.  T )  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR )
7573, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  RR
7675sqrcli 12858 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR )
77 rexr 9428 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR  ->  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR* )
7872, 76, 77mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  e.  RR*
79 nmopub 25311 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR* )  ->  ( ( normop `  T )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ) ) )
807, 78, 79mp2an 672 . . . . 5  |-  ( (
normop `  T )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ) )
8119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  e.  ~H )
82 hicl 24481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  e.  CC )
8381, 82mpancom 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  e.  CC )
8483abscld 12921 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  e.  RR )
8584adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  e.  RR )
8622, 38remulcld 9413 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
8786adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
8875a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  RR )
89 bcs 24582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )
)  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  x.  ( normh `  x ) ) )
9081, 89mpancom 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) ) )
9190adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) ) )
925, 7hococli 25168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  e. 
~H )
93 normcl 24526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x ) )  e.  RR )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  e.  RR )
9594adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  e.  RR )
9638adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
97 normge0 24527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
9819, 20, 973syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) ) )
9922, 98jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )
101 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  <_ 
1 )
102 lemul2a 10183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10344, 102mp3anl2 1309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  ( ( normh `  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) ) ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10496, 100, 101, 103syl21anc 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10522recnd 9411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  CC )
106105mulid1d 9402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) )
107106, 17eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
) )
108107adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
) )
109104, 108breqtrd 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( normh `  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x ) ) )
110 remulcl 9366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
11175, 38, 110sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
112111adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
11373nmbdoplbi 25427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
) )
114113adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
) )
11575, 72pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
116 lemul2a 10183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  1 ) )
117115, 116mp3anl3 1310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  1 ) )
11844, 117mpanl2 681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  1 ) )
11938, 118sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  1 ) )
12075recni 9397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  CC
121120mulid1i 9387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  x.  1 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
122119, 121syl6breq 4330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
12395, 112, 88, 114, 122letrd 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
12487, 95, 88, 109, 123letrd 9527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
12585, 87, 88, 91, 124letrd 9527 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
126 resqcl 11932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  e.  RR )
127 sqge0 11941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
128126, 127absidd 12908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x )
) ^ 2 ) )  =  ( (
normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
12919, 26, 1283syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
130 normsq 24535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) ) )
13119, 130syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) ) )
132 bdopadj 25485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  e.  dom  adjh )
1333, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( adjh `  T )  e.  dom  adjh
134 adj2 25337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( adjh `  T
)  e.  dom  adjh  /\  ( T `  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T ) ) `
 x ) ) )
135133, 134mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T ) ) `
 x ) ) )
13619, 135mpancom 669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T
) ) `  x
) ) )
137 bdopadj 25485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  dom  adjh )
138 adjadj 25339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  ( adjh `  T ) )  =  T )
1391, 137, 138mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( adjh `  ( adjh `  T
) )  =  T
140139fveq1i 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
adjh `  ( adjh `  T ) ) `  x )  =  ( T `  x )
141140oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  x ) 
.ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T
) ) `  x
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )
142136, 141syl6req 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )
)
143131, 142eqtrd 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) )
144143fveq2d 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x
) ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
145129, 144eqtr3d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
146145adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
14775sqsqri 12862 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
1488, 71, 147mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
149148a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
150125, 146, 1493brtr4d 4321 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) )
151 normge0 24527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  x ) ) )
15219, 151syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  x ) ) )
1538, 71, 76mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  e.  RR
15475sqrge0i 12863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) )
1558, 71, 154mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
156 le2sq 11939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( T `  x )
) )  /\  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ) )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
157153, 155, 156mpanr12 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( T `  x ) ) )  ->  ( ( normh `  ( T `  x
) )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <-> 
( ( normh `  ( T `  x )
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
15827, 152, 157syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
159158adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
160150, 159mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )
161160ex 434 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ) )
16280, 161mprgbir 2785 . . . 4  |-  ( normop `  T )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
16310, 153le2sqi 11954 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( normop `  T
)  /\  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <-> 
( ( normop `  T
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
16446, 155, 163mp2an 672 . . . 4  |-  ( (
normop `  T )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) )
165162, 164mpbi 208 . . 3  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )
166165, 148breqtri 4314 . 2  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
16775, 11letri3i 9489 . 2  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  =  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  <->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  /\  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )
16870, 166, 167mpbir2an 911 1  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  =  ( (
normop `  T ) ^
2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   class class class wbr 4291   dom cdm 4839    o. ccom 4843   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   RRcr 9280   0cc0 9281   1c1 9282    x. cmul 9286   RR*cxr 9416    <_ cle 9418   2c2 10370   ^cexp 11864   sqrcsqr 12721   abscabs 12722   ~Hchil 24320    .ih csp 24323   normhcno 24324   normopcnop 24346   BndLinOpcbo 24349   adjhcado 24356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cc 8603  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-addf 9360  ax-mulf 9361  ax-hilex 24400  ax-hfvadd 24401  ax-hvcom 24402  ax-hvass 24403  ax-hv0cl 24404  ax-hvaddid 24405  ax-hfvmul 24406  ax-hvmulid 24407  ax-hvmulass 24408  ax-hvdistr1 24409  ax-hvdistr2 24410  ax-hvmul0 24411  ax-hfi 24480  ax-his1 24483  ax-his2 24484  ax-his3 24485  ax-his4 24486  ax-hcompl 24603
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-omul 6924  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-acn 8111  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-clim 12965  df-rlim 12966  df-sum 13163  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-hom 14261  df-cco 14262  df-rest 14360  df-topn 14361  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-topgen 14381  df-pt 14382  df-prds 14385  df-xrs 14439  df-qtop 14444  df-imas 14445  df-xps 14447  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-mulg 15547  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-fbas 17813  df-fg 17814  df-cnfld 17818  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-cld 18622  df-ntr 18623  df-cls 18624  df-nei 18701  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-lm 18832  df-t1 18917  df-haus 18918  df-tx 19134  df-hmeo 19327  df-fil 19418  df-fm 19510  df-flim 19511  df-flf 19512  df-xms 19894  df-ms 19895  df-tms 19896  df-cfil 20765  df-cau 20766  df-cmet 20767  df-grpo 23677  df-gid 23678  df-ginv 23679  df-gdiv 23680  df-ablo 23768  df-subgo 23788  df-vc 23923  df-nv 23969  df-va 23972  df-ba 23973  df-sm 23974  df-0v 23975  df-vs 23976  df-nmcv 23977  df-ims 23978  df-dip 24095  df-ssp 24119  df-lno 24143  df-nmoo 24144  df-0o 24146  df-ph 24212  df-cbn 24263  df-hnorm 24369  df-hba 24370  df-hvsub 24372  df-hlim 24373  df-hcau 24374  df-sh 24608  df-ch 24623  df-oc 24654  df-ch0 24655  df-shs 24710  df-pjh 24797  df-h0op 25151  df-nmop 25242  df-cnop 25243  df-lnop 25244  df-bdop 25245  df-unop 25246  df-hmop 25247  df-nmfn 25248  df-nlfn 25249  df-cnfn 25250  df-lnfn 25251  df-adjh 25252
This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  25505
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