Theorem nmopcoadji 11671

Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106.

Hypothesis

Ref	Expression
nmopcoadj.1	|- T e. BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopcoadji	|- (normop` ((adjh` T) o. T)) = ((normop` T)^2)

Proof of Theorem nmopcoadji

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmopcoadj.1	. . . . . 6 |- T e. BndLinOp
2		adjbdlnb 11654	. . . . . 6 |- (T e. BndLinOp <-> (adjh` T) e. BndLinOp)
3	1, 2	mpbi 206	. . . . 5 |- (adjh` T) e. BndLinOp
4	3, 1	bdopcoi 11668	. . . 4 |- ((adjh` T) o. T) e. BndLinOp
5		nmopre 11434	. . . 4 |- (((adjh` T) o. T) e. BndLinOp -> (normop` ((adjh` T) o. T)) e. RR)
6	4, 5	ax-mp 7	. . 3 |- (normop` ((adjh` T) o. T)) e. RR
7		nmopre 11434	. . . . 5 |- (T e. BndLinOp -> (normop` T) e. RR)
8	1, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- (normop` T) e. RR
9	8	resqcli 7868	. . 3 |- ((normop` T)^2) e. RR
10	6, 9	letri3i 6749	. 2 |- ((normop` ((adjh` T) o. T)) = ((normop` T)^2) <-> ((normop` ((adjh` T) o. T)) <_ ((normop` T)^2) /\ ((normop` T)^2) <_ (normop` ((adjh` T) o. T))))
11		bdopf 11426	. . . . 5 |- ((adjh` T) e. BndLinOp -> (adjh` T):~H-->~H)
12	3, 11	ax-mp 7	. . . 4 |- (adjh` T):~H-->~H
13		bdopf 11426	. . . . 5 |- (T e. BndLinOp -> T:~H-->~H)
14	1, 13	ax-mp 7	. . . 4 |- T:~H-->~H
15	12, 14	hocofi 11329	. . 3 |- ((adjh` T) o. T):~H-->~H
16		rexr 6668	. . . 4 |- (((normop` T)^2) e. RR -> ((normop` T)^2) e. RR*)
17	9, 16	ax-mp 7	. . 3 |- ((normop` T)^2) e. RR*
18	12, 14	hocoi 11327	. . . . . . . . 9 |- (x e. ~H -> (((adjh` T) o. T)` x) = ((adjh` T)` (T` x)))
19	18	fveq2d 4685	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> (normh` (((adjh` T) o. T)` x)) = (normh` ((adjh` T)` (T` x))))
20	19	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (((adjh` T) o. T)` x)) = (normh` ((adjh` T)` (T` x))))
21	14	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> (T` x) e. ~H)
22	12	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . 11 |- ((T` x) e. ~H -> ((adjh` T)` (T` x)) e. ~H)
23	21, 22	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ~H -> ((adjh` T)` (T` x)) e. ~H)
24		normcl 10624	. . . . . . . . . 10 |- (((adjh` T)` (T` x)) e. ~H -> (normh` ((adjh` T)` (T` x))) e. RR)
25	23, 24	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (x e. ~H -> (normh` ((adjh` T)` (T` x))) e. RR)
26	25	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` ((adjh` T)` (T` x))) e. RR)
27		normcl 10624	. . . . . . . . . . 11 |- ((T` x) e. ~H -> (normh` (T` x)) e. RR)
28	21, 27	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ~H -> (normh` (T` x)) e. RR)
29		nmopre 11434	. . . . . . . . . . . 12 |- ((adjh` T) e. BndLinOp -> (normop` (adjh` T)) e. RR)
30	3, 29	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (normop` (adjh` T)) e. RR
31		remulcl 6457	. . . . . . . . . . 11 |- (((normop` (adjh` T)) e. RR /\ (normh` (T` x)) e. RR) -> ((normop` (adjh` T)) x. (normh` (T` x))) e. RR)
32	30, 31	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- ((normh` (T` x)) e. RR -> ((normop` (adjh` T)) x. (normh` (T` x))) e. RR)
33	28, 32	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (x e. ~H -> ((normop` (adjh` T)) x. (normh` (T` x))) e. RR)
34	33	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normop` (adjh` T)) x. (normh` (T` x))) e. RR)
35	30, 8	remulcli 6488	. . . . . . . . 9 |- ((normop` (adjh` T)) x. (normop` T)) e. RR
36	35	a1i 8	. . . . . . . 8 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normop` (adjh` T)) x. (normop` T)) e. RR)
37	3	nmbdoplbi 11586	. . . . . . . . . 10 |- ((T` x) e. ~H -> (normh` ((adjh` T)` (T` x))) <_ ((normop` (adjh` T)) x. (normh` (T` x))))
38	21, 37	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (x e. ~H -> (normh` ((adjh` T)` (T` x))) <_ ((normop` (adjh` T)) x. (normh` (T` x))))
39	38	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` ((adjh` T)` (T` x))) <_ ((normop` (adjh` T)) x. (normh` (T` x))))
40	28	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (T` x)) e. RR)
41	8	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normop` T) e. RR)
42		normcl 10624	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ~H -> (normh` x) e. RR)
43		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((normop` T) e. RR /\ (normh` x) e. RR) -> ((normop` T) x. (normh` x)) e. RR)
44	8, 43	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ((normh` x) e. RR -> ((normop` T) x. (normh` x)) e. RR)
45	42, 44	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> ((normop` T) x. (normh` x)) e. RR)
46	45	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normop` T) x. (normh` x)) e. RR)
47	1	nmbdoplbi 11586	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> (normh` (T` x)) <_ ((normop` T) x. (normh` x)))
48	47	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (T` x)) <_ ((normop` T) x. (normh` x)))
49		1re 6598	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
50		nmopge0 11472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (T:~H-->~H -> 0 <_ (normop` T))
51	14, 50	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 <_ (normop` T)
52		lemul2aOLD 7022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((normh` x) e. RR /\ 1 e. RR /\ (normop` T) e. RR) /\ (0 <_ (normop` T) /\ (normh` x) <_ 1)) -> ((normop` T) x. (normh` x)) <_ ((normop` T) x. 1))
53	51, 52	mpanr1 774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((normh` x) e. RR /\ 1 e. RR /\ (normop` T) e. RR) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normop` T) x. (normh` x)) <_ ((normop` T) x. 1))
54	8, 53	mp3anl3 1187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((normh` x) e. RR /\ 1 e. RR) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normop` T) x. (normh` x)) <_ ((normop` T) x. 1))
55	49, 54	mpanl2 771	. . . . . . . . . . . 12 |- (((normh` x) e. RR /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normop` T) x. (normh` x)) <_ ((normop` T) x. 1))
56	55, 42	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normop` T) x. (normh` x)) <_ ((normop` T) x. 1))
57	8	recni 6467	. . . . . . . . . . . 12 |- (normop` T) e. CC
58	57	mulid1i 6485	. . . . . . . . . . 11 |- ((normop` T) x. 1) = (normop` T)
59	56, 58	syl6breq 3376	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normop` T) x. (normh` x)) <_ (normop` T))
60	40, 46, 41, 48, 59	letrd 6696	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (T` x)) <_ (normop` T))
61		nmopge0 11472	. . . . . . . . . . . 12 |- ((adjh` T):~H-->~H -> 0 <_ (normop` (adjh` T)))
62	12, 61	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ (normop` (adjh` T))
63		lemul2aOLD 7022	. . . . . . . . . . 11 |- ((((normh` (T` x)) e. RR /\ (normop` T) e. RR /\ (normop` (adjh` T)) e. RR) /\ (0 <_ (normop` (adjh` T)) /\ (normh` (T` x)) <_ (normop` T))) -> ((normop` (adjh` T)) x. (normh` (T` x))) <_ ((normop` (adjh` T)) x. (normop` T)))
64	62, 63	mpanr1 774	. . . . . . . . . 10 |- ((((normh` (T` x)) e. RR /\ (normop` T) e. RR /\ (normop` (adjh` T)) e. RR) /\ (normh` (T` x)) <_ (normop` T)) -> ((normop` (adjh` T)) x. (normh` (T` x))) <_ ((normop` (adjh` T)) x. (normop` T)))
65	30, 64	mp3anl3 1187	. . . . . . . . 9 |- ((((normh` (T` x)) e. RR /\ (normop` T) e. RR) /\ (normh` (T` x)) <_ (normop` T)) -> ((normop` (adjh` T)) x. (normh` (T` x))) <_ ((normop` (adjh` T)) x. (normop` T)))
66	40, 41, 60, 65	syl21anc 1099	. . . . . . . 8 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normop` (adjh` T)) x. (normh` (T` x))) <_ ((normop` (adjh` T)) x. (normop` T)))
67	26, 34, 36, 39, 66	letrd 6696	. . . . . . 7 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` ((adjh` T)` (T` x))) <_ ((normop` (adjh` T)) x. (normop` T)))
68	20, 67	eqbrtrd 3357	. . . . . 6 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (((adjh` T) o. T)` x)) <_ ((normop` (adjh` T)) x. (normop` T)))
69	1	nmopadji 11660	. . . . . . . 8 |- (normop` (adjh` T)) = (normop` T)
70	69	opreq1i 4892	. . . . . . 7 |- ((normop` (adjh` T)) x. (normop` T)) = ((normop` T) x. (normop` T))
71	57	sqvali 7859	. . . . . . 7 |- ((normop` T)^2) = ((normop` T) x. (normop` T))
72	70, 71	eqtr4i 1911	. . . . . 6 |- ((normop` (adjh` T)) x. (normop` T)) = ((normop` T)^2)
73	68, 72	syl6breq 3376	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (((adjh` T) o. T)` x)) <_ ((normop` T)^2))
74	73	ex 402	. . . 4 |- (x e. ~H -> ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (((adjh` T) o. T)` x)) <_ ((normop` T)^2)))
75	74	rgen 2159	. . 3 |- A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (((adjh` T) o. T)` x)) <_ ((normop` T)^2))
76		nmopub 11469	. . 3 |- ((((adjh` T) o. T):~H-->~H /\ ((normop` T)^2) e. RR* /\ A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (((adjh` T) o. T)` x)) <_ ((normop` T)^2))) -> (normop` ((adjh` T) o. T)) <_ ((normop` T)^2))
77	15, 17, 75, 76	mp3an 1191	. 2 |- (normop` ((adjh` T) o. T)) <_ ((normop` T)^2)
78		nmopge0 11472	. . . . . . . 8 |- (((adjh` T) o. T):~H-->~H -> 0 <_ (normop` ((adjh` T) o. T)))
79	15, 78	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 0 <_ (normop` ((adjh` T) o. T))
80	6	sqrcli 7950	. . . . . . 7 |- (0 <_ (normop` ((adjh` T) o. T)) -> (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))) e. RR)
81	79, 80	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))) e. RR
82		rexr 6668	. . . . . 6 |- ((sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))) e. RR -> (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))) e. RR*)
83	81, 82	ax-mp 7	. . . . 5 |- (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))) e. RR*
84		hicl 10580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((adjh` T)` (T` x)) e. ~H /\ x e. ~H) -> (((adjh` T)` (T` x)) .ih x) e. CC)
85	23, 84	mpancom 769	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ~H -> (((adjh` T)` (T` x)) .ih x) e. CC)
86		abscl 8084	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((adjh` T)` (T` x)) .ih x) e. CC -> (abs` (((adjh` T)` (T` x)) .ih x)) e. RR)
87	85, 86	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> (abs` (((adjh` T)` (T` x)) .ih x)) e. RR)
88	87	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (abs` (((adjh` T)` (T` x)) .ih x)) e. RR)
89		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . 12 |- (((normh` ((adjh` T)` (T` x))) e. RR /\ (normh` x) e. RR) -> ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. (normh` x)) e. RR)
90	25, 42, 89	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. (normh` x)) e. RR)
91	90	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. (normh` x)) e. RR)
92	6	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normop` ((adjh` T) o. T)) e. RR)
93		bcs 10681	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((adjh` T)` (T` x)) e. ~H /\ x e. ~H) -> (abs` (((adjh` T)` (T` x)) .ih x)) <_ ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. (normh` x)))
94	23, 93	mpancom 769	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> (abs` (((adjh` T)` (T` x)) .ih x)) <_ ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. (normh` x)))
95	94	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (abs` (((adjh` T)` (T` x)) .ih x)) <_ ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. (normh` x)))
96	12, 14	hococli 11328	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ~H -> (((adjh` T) o. T)` x) e. ~H)
97		normcl 10624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((adjh` T) o. T)` x) e. ~H -> (normh` (((adjh` T) o. T)` x)) e. RR)
98	96, 97	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ~H -> (normh` (((adjh` T) o. T)` x)) e. RR)
99	98	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (((adjh` T) o. T)` x)) e. RR)
100	42, 25	jca 310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. ~H -> ((normh` x) e. RR /\ (normh` ((adjh` T)` (T` x))) e. RR))
101	100	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` x) e. RR /\ (normh` ((adjh` T)` (T` x))) e. RR))
102		normge0 10625	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((adjh` T)` (T` x)) e. ~H -> 0 <_ (normh` ((adjh` T)` (T` x))))
103	23, 102	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. ~H -> 0 <_ (normh` ((adjh` T)` (T` x))))
104	103	anim1i 361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ (normh` ((adjh` T)` (T` x))) /\ (normh` x) <_ 1))
105		lemul2aOLD 7022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((normh` x) e. RR /\ 1 e. RR /\ (normh` ((adjh` T)` (T` x))) e. RR) /\ (0 <_ (normh` ((adjh` T)` (T` x))) /\ (normh` x) <_ 1)) -> ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. (normh` x)) <_ ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. 1))
106	49, 105	mp3anl2 1186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((normh` x) e. RR /\ (normh` ((adjh` T)` (T` x))) e. RR) /\ (0 <_ (normh` ((adjh` T)` (T` x))) /\ (normh` x) <_ 1)) -> ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. (normh` x)) <_ ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. 1))
107	101, 104, 106	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. (normh` x)) <_ ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. 1))
108	25	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. ~H -> (normh` ((adjh` T)` (T` x))) e. CC)
109		ax1id 6435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) e. CC -> ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. 1) = (normh` ((adjh` T)` (T` x))))
110	108, 109	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. ~H -> ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. 1) = (normh` ((adjh` T)` (T` x))))
111	110, 19	eqtr4d 1928	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ~H -> ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. 1) = (normh` (((adjh` T) o. T)` x)))
112	111	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. 1) = (normh` (((adjh` T) o. T)` x)))
113	107, 112	breqtrd 3361	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. (normh` x)) <_ (normh` (((adjh` T) o. T)` x)))
114		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((normop` ((adjh` T) o. T)) e. RR /\ (normh` x) e. RR) -> ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. (normh` x)) e. RR)
115	6, 114	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((normh` x) e. RR -> ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. (normh` x)) e. RR)
116	42, 115	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ~H -> ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. (normh` x)) e. RR)
117	116	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. (normh` x)) e. RR)
118	4	nmbdoplbi 11586	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ~H -> (normh` (((adjh` T) o. T)` x)) <_ ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. (normh` x)))
119	118	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (((adjh` T) o. T)` x)) <_ ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. (normh` x)))
120		lemul2aOLD 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((normh` x) e. RR /\ 1 e. RR /\ (normop` ((adjh` T) o. T)) e. RR) /\ (0 <_ (normop` ((adjh` T) o. T)) /\ (normh` x) <_ 1)) -> ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. (normh` x)) <_ ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. 1))
121	6, 120	mp3anl3 1187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((normh` x) e. RR /\ 1 e. RR) /\ (0 <_ (normop` ((adjh` T) o. T)) /\ (normh` x) <_ 1)) -> ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. (normh` x)) <_ ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. 1))
122	49, 121	mpanl2 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((normh` x) e. RR /\ (0 <_ (normop` ((adjh` T) o. T)) /\ (normh` x) <_ 1)) -> ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. (normh` x)) <_ ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. 1))
123	79, 122	mpanr1 774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((normh` x) e. RR /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. (normh` x)) <_ ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. 1))
124	123, 42	sylan 497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. (normh` x)) <_ ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. 1))
125	6	recni 6467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (normop` ((adjh` T) o. T)) e. CC
126	125	mulid1i 6485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. 1) = (normop` ((adjh` T) o. T))
127	124, 126	syl6breq 3376	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normop` ((adjh` T) o. T)) x. (normh` x)) <_ (normop` ((adjh` T) o. T)))
128	99, 117, 92, 119, 127	letrd 6696	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (((adjh` T) o. T)` x)) <_ (normop` ((adjh` T) o. T)))
129	91, 99, 92, 113, 128	letrd 6696	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` ((adjh` T)` (T` x))) x. (normh` x)) <_ (normop` ((adjh` T) o. T)))
130	88, 91, 92, 95, 129	letrd 6696	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (abs` (((adjh` T)` (T` x)) .ih x)) <_ (normop` ((adjh` T) o. T)))
131		resqcl 7866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((normh` (T` x)) e. RR -> ((normh` (T` x))^2) e. RR)
132		sqge0 7878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((normh` (T` x)) e. RR -> 0 <_ ((normh` (T` x))^2))
133		absid 8113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((normh` (T` x))^2) e. RR /\ 0 <_ ((normh` (T` x))^2)) -> (abs` ((normh` (T` x))^2)) = ((normh` (T` x))^2))
134	131, 132, 133	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- ((normh` (T` x)) e. RR -> (abs` ((normh` (T` x))^2)) = ((normh` (T` x))^2))
135	28, 134	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> (abs` ((normh` (T` x))^2)) = ((normh` (T` x))^2))
136		normsq 10634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T` x) e. ~H -> ((normh` (T` x))^2) = ((T` x) .ih (T` x)))
137	21, 136	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ~H -> ((normh` (T` x))^2) = ((T` x) .ih (T` x)))
138		bdopadj 11652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((adjh` T) e. BndLinOp -> (adjh` T) e. dom adjh)
139	3, 138	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (adjh` T) e. dom adjh
140		adj2 11495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((adjh` T) e. dom adjh /\ (T` x) e. ~H /\ x e. ~H) -> (((adjh` T)` (T` x)) .ih x) = ((T` x) .ih ((adjh` (adjh` T))` x)))
141	139, 140	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((T` x) e. ~H /\ x e. ~H) -> (((adjh` T)` (T` x)) .ih x) = ((T` x) .ih ((adjh` (adjh` T))` x)))
142	21, 141	mpancom 769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. ~H -> (((adjh` T)` (T` x)) .ih x) = ((T` x) .ih ((adjh` (adjh` T))` x)))
143		bdopadj 11652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (T e. BndLinOp -> T e. dom adjh)
144	1, 143	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T e. dom adjh
145		adjadj 11497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (T e. dom adjh -> (adjh` (adjh` T)) = T)
146	144, 145	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (adjh` (adjh` T)) = T
147	146	fveq1i 4682	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((adjh` (adjh` T))` x) = (T` x)
148	147	opreq2i 4893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T` x) .ih ((adjh` (adjh` T))` x)) = ((T` x) .ih (T` x))
149	142, 148	syl6req 1945	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ~H -> ((T` x) .ih (T` x)) = (((adjh` T)` (T` x)) .ih x))
150	137, 149	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ~H -> ((normh` (T` x))^2) = (((adjh` T)` (T` x)) .ih x))
151	150	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> (abs` ((normh` (T` x))^2)) = (abs` (((adjh` T)` (T` x)) .ih x)))
152	135, 151	eqtr3d 1927	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ~H -> ((normh` (T` x))^2) = (abs` (((adjh` T)` (T` x)) .ih x)))
153	152	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` (T` x))^2) = (abs` (((adjh` T)` (T` x)) .ih x)))
154	6	sqsqri 7971	. . . . . . . . . . 11 |- (0 <_ (normop` ((adjh` T) o. T)) -> ((sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))^2) = (normop` ((adjh` T) o. T)))
155	79, 154	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- ((sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))^2) = (normop` ((adjh` T) o. T))
156	155	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))^2) = (normop` ((adjh` T) o. T)))
157	130, 153, 156	3brtr4d 3367	. . . . . . . 8 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` (T` x))^2) <_ ((sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))^2))
158		normge0 10625	. . . . . . . . . . 11 |- ((T` x) e. ~H -> 0 <_ (normh` (T` x)))
159	21, 158	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ~H -> 0 <_ (normh` (T` x)))
160	6	sqrge0i 7952	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 <_ (normop` ((adjh` T) o. T)) -> 0 <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))))
161	79, 160	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))
162		le2sq 7876	. . . . . . . . . . 11 |- ((((normh` (T` x)) e. RR /\ 0 <_ (normh` (T` x))) /\ ((sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))) e. RR /\ 0 <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))))) -> ((normh` (T` x)) <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))) <-> ((normh` (T` x))^2) <_ ((sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))^2)))
163	81, 161, 162	mpanr12 778	. . . . . . . . . 10 |- (((normh` (T` x)) e. RR /\ 0 <_ (normh` (T` x))) -> ((normh` (T` x)) <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))) <-> ((normh` (T` x))^2) <_ ((sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))^2)))
164	28, 159, 163	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (x e. ~H -> ((normh` (T` x)) <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))) <-> ((normh` (T` x))^2) <_ ((sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))^2)))
165	164	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` (T` x)) <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))) <-> ((normh` (T` x))^2) <_ ((sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))^2)))
166	157, 165	mpbird 213	. . . . . . 7 |- ((x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` (T` x)) <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))))
167	166	ex 402	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))))
168	167	rgen 2159	. . . . 5 |- A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))))
169		nmopub 11469	. . . . 5 |- ((T:~H-->~H /\ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))) e. RR* /\ A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))))) -> (normop` T) <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))))
170	14, 83, 168, 169	mp3an 1191	. . . 4 |- (normop` T) <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))
171	8, 81	le2sqi 7870	. . . . 5 |- ((0 <_ (normop` T) /\ 0 <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))) -> ((normop` T) <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))) <-> ((normop` T)^2) <_ ((sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))^2)))
172	51, 161, 171	mp2an 761	. . . 4 |- ((normop` T) <_ (sqr` (normop` ((adjh` T) o. T))) <-> ((normop` T)^2) <_ ((sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))^2))
173	170, 172	mpbi 206	. . 3 |- ((normop` T)^2) <_ ((sqr` (normop` ((adjh` T) o. T)))^2)
174	173, 155	breqtri 3360	. 2 |- ((normop` T)^2) <_ (normop` ((adjh` T) o. T))
175	10, 77, 174	mpbir2an 800	1 |- (normop` ((adjh` T) o. T)) = ((normop` T)^2)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338  dom cdm 3986   o. ccom 3990  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   <_ cle 6448  RR*cxr 6652  2c2 7145  ^cexp 7811  sqrcsqr 7919  abscabs 8000  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  normhcno 10426  norm_opcnop 10446  BndLinOpcbo 10449  adj_hcado 10456

This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i 11672

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-lno 9744  df-nmo 9745  df-0o 9747  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-h0op 11311  df-nmop 11402  df-cnop 11403  df-lnop 11404  df-bdop 11405  df-unop 11406  df-hmop 11407  df-nmfn 11408  df-nlfn 11409  df-cnfn 11410  df-lnfn 11411  df-adjh 11412

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