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Theorem nmopcoadji 27146
Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopcoadj.1  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoadji  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  =  ( (
normop `  T ) ^
2 )

Proof of Theorem nmopcoadji
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopcoadj.1 . . . . . . 7  |-  T  e.  BndLinOp
2 adjbdlnb 27129 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  BndLinOp 
<->  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )
31, 2mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( adjh `  T )  e.  BndLinOp
4 bdopf 26907 . . . . . 6  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
) : ~H --> ~H )
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H
6 bdopf 26907 . . . . . 6  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
71, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  T : ~H
--> ~H
85, 7hocofi 26811 . . . 4  |-  ( (
adjh `  T )  o.  T ) : ~H --> ~H
9 nmopre 26915 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( normop `  T )  e.  RR
1110resqcli 12255 . . . . 5  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  e.  RR
12 rexr 9656 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T ) ^ 2 )  e.  RR  ->  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  e.  RR* )
1311, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  e.  RR*
14 nmopub 26953 . . . 4  |-  ( ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) : ~H --> ~H  /\  ( ( normop `  T
) ^ 2 )  e.  RR* )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  <_ 
( ( normop `  T
) ^ 2 )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) ) ) )
158, 13, 14mp2an 672 . . 3  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( (
( adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) ) )
165, 7hocoi 26809 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  =  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )
1716fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  =  (
normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  =  (
normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
197ffvelrni 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
205ffvelrni 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  e.  ~H )
21 normcl 26168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) ) )  e.  RR )
2219, 20, 213syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
2322adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
24 nmopre 26915 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( normop `  ( adjh `  T ) )  e.  RR )
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR
26 normcl 26168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
2719, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
28 remulcl 9594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  ( adjh `  T ) )  e.  RR  /\  ( normh `  ( T `  x
) )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
2925, 27, 28sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
3029adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
3125, 10remulcli 9627 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
)  e.  RR )
333nmbdoplbi 27069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3419, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3534adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3627adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
3710a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normop `  T )  e.  RR )
38 normcl 26168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
39 remulcl 9594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
4010, 38, 39sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
4140adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
421nmbdoplbi 27069 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  x ) ) )
4342adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  x ) ) )
44 1re 9612 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
45 nmopge0 26956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
461, 6, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  ( normop `  T )
4710, 46pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normop `  T )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  T )
)
48 lemul2a 10418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normop `  T )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  T )
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
4947, 48mp3anl3 1320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5044, 49mpanl2 681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5138, 50sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5210recni 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normop `  T )  e.  CC
5352mulid1i 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
normop `  T )  x.  1 )  =  (
normop `  T )
5451, 53syl6breq 4495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( normop `  T
) )
5536, 41, 37, 43, 54letrd 9756 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
56 nmopge0 26956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
adjh `  T ) : ~H --> ~H  ->  0  <_ 
( normop `  ( adjh `  T ) ) )
573, 4, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) )
5825, 57pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) ) )
59 lemul2a 10418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6058, 59mp3anl3 1320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6136, 37, 55, 60syl21anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6223, 30, 32, 35, 61letrd 9756 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
) )
6318, 62eqbrtrd 4476 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
) )
641nmopadji 27135 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( adjh `  T
) )  =  (
normop `  T )
6564oveq1i 6306 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  =  ( ( normop `  T
)  x.  ( normop `  T ) )
6652sqvali 12249 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normop `  T )
)
6765, 66eqtr4i 2489 . . . . 5  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  =  ( ( normop `  T
) ^ 2 )
6863, 67syl6breq 4495 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) )
6968ex 434 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
)  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 ) ) )
7015, 69mprgbir 2821 . 2  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 )
71 nmopge0 26956 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
728, 71ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )
733, 1bdopcoi 27143 . . . . . . . . 9  |-  ( (
adjh `  T )  o.  T )  e.  BndLinOp
74 nmopre 26915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( adjh `  T
)  o.  T )  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR )
7573, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  RR
7675sqrtcli 13215 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR )
77 rexr 9656 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR  ->  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR* )
7872, 76, 77mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  e.  RR*
79 nmopub 26953 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR* )  ->  ( ( normop `  T )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ) ) )
807, 78, 79mp2an 672 . . . . 5  |-  ( (
normop `  T )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ) )
8119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  e.  ~H )
82 hicl 26123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  e.  CC )
8381, 82mpancom 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  e.  CC )
8483abscld 13278 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  e.  RR )
8584adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  e.  RR )
8622, 38remulcld 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
8786adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
8875a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  RR )
89 bcs 26224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )
)  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  x.  ( normh `  x ) ) )
9081, 89mpancom 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) ) )
9190adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) ) )
925, 7hococli 26810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  e. 
~H )
93 normcl 26168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x ) )  e.  RR )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  e.  RR )
9594adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  e.  RR )
9638adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
97 normge0 26169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
9819, 20, 973syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) ) )
9922, 98jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )
101 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  <_ 
1 )
102 lemul2a 10418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10344, 102mp3anl2 1319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  ( ( normh `  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) ) ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10496, 100, 101, 103syl21anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10522recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  CC )
106105mulid1d 9630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) )
107106, 17eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
) )
108107adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
) )
109104, 108breqtrd 4480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( normh `  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x ) ) )
110 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
11175, 38, 110sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
112111adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
11373nmbdoplbi 27069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
) )
114113adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
) )
11575, 72pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
116 lemul2a 10418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  1 ) )
117115, 116mp3anl3 1320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  1 ) )
11844, 117mpanl2 681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  1 ) )
11938, 118sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  1 ) )
12075recni 9625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  CC
121120mulid1i 9615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  x.  1 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
122119, 121syl6breq 4495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
12395, 112, 88, 114, 122letrd 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
12487, 95, 88, 109, 123letrd 9756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
12585, 87, 88, 91, 124letrd 9756 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
126 resqcl 12237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  e.  RR )
127 sqge0 12246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
128126, 127absidd 13265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x )
) ^ 2 ) )  =  ( (
normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
12919, 26, 1283syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
130 normsq 26177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) ) )
13119, 130syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) ) )
132 bdopadj 27127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  e.  dom  adjh )
1333, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( adjh `  T )  e.  dom  adjh
134 adj2 26979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( adjh `  T
)  e.  dom  adjh  /\  ( T `  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T ) ) `
 x ) ) )
135133, 134mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T ) ) `
 x ) ) )
13619, 135mpancom 669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T
) ) `  x
) ) )
137 bdopadj 27127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  dom  adjh )
138 adjadj 26981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  ( adjh `  T ) )  =  T )
1391, 137, 138mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( adjh `  ( adjh `  T
) )  =  T
140139fveq1i 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
adjh `  ( adjh `  T ) ) `  x )  =  ( T `  x )
141140oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  x ) 
.ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T
) ) `  x
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )
142136, 141syl6req 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )
)
143131, 142eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) )
144143fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x
) ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
145129, 144eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
146145adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
14775sqsqrti 13219 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
1488, 71, 147mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
149148a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
150125, 146, 1493brtr4d 4486 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) )
151 normge0 26169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  x ) ) )
15219, 151syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  x ) ) )
1538, 71, 76mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  e.  RR
15475sqrtge0i 13220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) )
1558, 71, 154mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
156 le2sq 12244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( T `  x )
) )  /\  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ) )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
157153, 155, 156mpanr12 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( T `  x ) ) )  ->  ( ( normh `  ( T `  x
) )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <-> 
( ( normh `  ( T `  x )
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
15827, 152, 157syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
159158adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
160150, 159mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )
161160ex 434 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ) )
16280, 161mprgbir 2821 . . . 4  |-  ( normop `  T )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
16310, 153le2sqi 12259 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( normop `  T
)  /\  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <-> 
( ( normop `  T
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
16446, 155, 163mp2an 672 . . . 4  |-  ( (
normop `  T )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) )
165162, 164mpbi 208 . . 3  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )
166165, 148breqtri 4479 . 2  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
16775, 11letri3i 9717 . 2  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  =  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  <->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  /\  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )
16870, 166, 167mpbir2an 920 1  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  =  ( (
normop `  T ) ^
2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   class class class wbr 4456   dom cdm 5008    o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    <_ cle 9646   2c2 10606   ^cexp 12168   sqrcsqrt 13077   abscabs 13078   ~Hchil 25962    .ih csp 25965   normhcno 25966   normopcnop 25988   BndLinOpcbo 25991   adjhcado 25998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589  ax-hilex 26042  ax-hfvadd 26043  ax-hvcom 26044  ax-hvass 26045  ax-hv0cl 26046  ax-hvaddid 26047  ax-hfvmul 26048  ax-hvmulid 26049  ax-hvmulass 26050  ax-hvdistr1 26051  ax-hvdistr2 26052  ax-hvmul0 26053  ax-hfi 26122  ax-his1 26125  ax-his2 26126  ax-his3 26127  ax-his4 26128  ax-hcompl 26245
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-lm 19856  df-t1 19941  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cfil 21819  df-cau 21820  df-cmet 21821  df-grpo 25319  df-gid 25320  df-ginv 25321  df-gdiv 25322  df-ablo 25410  df-subgo 25430  df-vc 25565  df-nv 25611  df-va 25614  df-ba 25615  df-sm 25616  df-0v 25617  df-vs 25618  df-nmcv 25619  df-ims 25620  df-dip 25737  df-ssp 25761  df-lno 25785  df-nmoo 25786  df-0o 25788  df-ph 25854  df-cbn 25905  df-hnorm 26011  df-hba 26012  df-hvsub 26014  df-hlim 26015  df-hcau 26016  df-sh 26250  df-ch 26265  df-oc 26296  df-ch0 26297  df-shs 26352  df-pjh 26439  df-h0op 26793  df-nmop 26884  df-cnop 26885  df-lnop 26886  df-bdop 26887  df-unop 26888  df-hmop 26889  df-nmfn 26890  df-nlfn 26891  df-cnfn 26892  df-lnfn 26893  df-adjh 26894
This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  27147
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