Theorem nmopadjlem 11659

Description: Lemma for nmopadji 11660.

Hypothesis

Ref	Expression
nmopadjle.1	|- T e. BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopadjlem	|- (normop` (adjh` T)) <_ (normop` T)

Proof of Theorem nmopadjlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmopadjle.1	. . . 4 |- T e. BndLinOp
2		adjbdln 11653	. . . 4 |- (T e. BndLinOp -> (adjh` T) e. BndLinOp)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- (adjh` T) e. BndLinOp
4		bdopf 11426	. . 3 |- ((adjh` T) e. BndLinOp -> (adjh` T):~H-->~H)
5	3, 4	ax-mp 7	. 2 |- (adjh` T):~H-->~H
6		bdopf 11426	. . . 4 |- (T e. BndLinOp -> T:~H-->~H)
7	1, 6	ax-mp 7	. . 3 |- T:~H-->~H
8		nmopxr 11430	. . 3 |- (T:~H-->~H -> (normop` T) e. RR*)
9	7, 8	ax-mp 7	. 2 |- (normop` T) e. RR*
10	5	ffvelrni 4788	. . . . . . . 8 |- (y e. ~H -> ((adjh` T)` y) e. ~H)
11		normcl 10624	. . . . . . . 8 |- (((adjh` T)` y) e. ~H -> (normh` ((adjh` T)` y)) e. RR)
12	10, 11	syl 12	. . . . . . 7 |- (y e. ~H -> (normh` ((adjh` T)` y)) e. RR)
13	12	adantr 425	. . . . . 6 |- ((y e. ~H /\ (normh` y) <_ 1) -> (normh` ((adjh` T)` y)) e. RR)
14		normcl 10624	. . . . . . . 8 |- (y e. ~H -> (normh` y) e. RR)
15		nmopre 11434	. . . . . . . . . 10 |- (T e. BndLinOp -> (normop` T) e. RR)
16	1, 15	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (normop` T) e. RR
17		remulcl 6457	. . . . . . . . 9 |- (((normop` T) e. RR /\ (normh` y) e. RR) -> ((normop` T) x. (normh` y)) e. RR)
18	16, 17	mpan 759	. . . . . . . 8 |- ((normh` y) e. RR -> ((normop` T) x. (normh` y)) e. RR)
19	14, 18	syl 12	. . . . . . 7 |- (y e. ~H -> ((normop` T) x. (normh` y)) e. RR)
20	19	adantr 425	. . . . . 6 |- ((y e. ~H /\ (normh` y) <_ 1) -> ((normop` T) x. (normh` y)) e. RR)
21		1re 6598	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
22	16, 21	remulcli 6488	. . . . . . 7 |- ((normop` T) x. 1) e. RR
23	22	a1i 8	. . . . . 6 |- ((y e. ~H /\ (normh` y) <_ 1) -> ((normop` T) x. 1) e. RR)
24	1	nmopadjlei 11658	. . . . . . 7 |- (y e. ~H -> (normh` ((adjh` T)` y)) <_ ((normop` T) x. (normh` y)))
25	24	adantr 425	. . . . . 6 |- ((y e. ~H /\ (normh` y) <_ 1) -> (normh` ((adjh` T)` y)) <_ ((normop` T) x. (normh` y)))
26	14	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((y e. ~H /\ (normh` y) <_ 1) -> (normh` y) e. RR)
27	21	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((y e. ~H /\ (normh` y) <_ 1) -> 1 e. RR)
28	16	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((y e. ~H /\ (normh` y) <_ 1) -> (normop` T) e. RR)
29		simpr 350	. . . . . . . 8 |- ((y e. ~H /\ (normh` y) <_ 1) -> (normh` y) <_ 1)
30		nmopge0 11472	. . . . . . . . 9 |- (T:~H-->~H -> 0 <_ (normop` T))
31	7, 30	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- 0 <_ (normop` T)
32	29, 31	jctil 316	. . . . . . 7 |- ((y e. ~H /\ (normh` y) <_ 1) -> (0 <_ (normop` T) /\ (normh` y) <_ 1))
33		lemul2aOLD 7022	. . . . . . 7 |- ((((normh` y) e. RR /\ 1 e. RR /\ (normop` T) e. RR) /\ (0 <_ (normop` T) /\ (normh` y) <_ 1)) -> ((normop` T) x. (normh` y)) <_ ((normop` T) x. 1))
34	26, 27, 28, 32, 33	syl31anc 1103	. . . . . 6 |- ((y e. ~H /\ (normh` y) <_ 1) -> ((normop` T) x. (normh` y)) <_ ((normop` T) x. 1))
35	13, 20, 23, 25, 34	letrd 6696	. . . . 5 |- ((y e. ~H /\ (normh` y) <_ 1) -> (normh` ((adjh` T)` y)) <_ ((normop` T) x. 1))
36	16	recni 6467	. . . . . 6 |- (normop` T) e. CC
37	36	mulid1i 6485	. . . . 5 |- ((normop` T) x. 1) = (normop` T)
38	35, 37	syl6breq 3376	. . . 4 |- ((y e. ~H /\ (normh` y) <_ 1) -> (normh` ((adjh` T)` y)) <_ (normop` T))
39	38	ex 402	. . 3 |- (y e. ~H -> ((normh` y) <_ 1 -> (normh` ((adjh` T)` y)) <_ (normop` T)))
40	39	rgen 2159	. 2 |- A.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 -> (normh` ((adjh` T)` y)) <_ (normop` T))
41		nmopub 11469	. 2 |- (((adjh` T):~H-->~H /\ (normop` T) e. RR* /\ A.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 -> (normh` ((adjh` T)` y)) <_ (normop` T))) -> (normop` (adjh` T)) <_ (normop` T))
42	5, 9, 40, 41	mp3an 1191	1 |- (normop` (adjh` T)) <_ (normop` T)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   <_ cle 6448  RR*cxr 6652  ~Hchil 10420  normhcno 10426  norm_opcnop 10446  BndLinOpcbo 10449  adj_hcado 10456

This theorem is referenced by:  nmopadji 11660

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-h0op 11311  df-nmop 11402  df-cnop 11403  df-lnop 11404  df-bdop 11405  df-unop 11406  df-hmop 11407  df-nmfn 11408  df-nlfn 11409  df-cnfn 11410  df-lnfn 11411  df-adjh 11412

Copyright terms: Public domain