HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopadjlem Structured version   Unicode version

Theorem nmopadjlem 26984
Description: Lemma for nmopadji 26985. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopadjle.1  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopadjlem  |-  ( normop `  ( adjh `  T
) )  <_  ( normop `  T )

Proof of Theorem nmopadjlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopadjle.1 . . . 4  |-  T  e.  BndLinOp
2 adjbdln 26978 . . . 4  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )
3 bdopf 26757 . . . 4  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
) : ~H --> ~H )
41, 2, 3mp2b 10 . . 3  |-  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H
5 bdopf 26757 . . . 4  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
6 nmopxr 26761 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  e. 
RR* )
71, 5, 6mp2b 10 . . 3  |-  ( normop `  T )  e.  RR*
8 nmopub 26803 . . 3  |-  ( ( ( adjh `  T
) : ~H --> ~H  /\  ( normop `  T )  e.  RR* )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  <_ 
( normop `  T )  <->  A. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  <_  ( normop `  T
) ) ) )
94, 7, 8mp2an 672 . 2  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  <_  ( normop `  T )  <->  A. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  y ) )  <_ 
( normop `  T )
) )
104ffvelrni 6015 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )
11 normcl 26018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  e.  RR )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  e.  RR )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  e.  RR )
14 nmopre 26765 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
151, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( normop `  T )  e.  RR
16 normcl 26018 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
17 remulcl 9580 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
1815, 16, 17sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  e.  RR )
1918adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  e.  RR )
20 1re 9598 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2115, 20remulcli 9613 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  T )  x.  1 )  e.  RR
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  1 )  e.  RR )
231nmopadjlei 26983 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
) )
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
) )
25 nmopge0 26806 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
261, 5, 25mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  ( normop `  T )
2715, 26pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  T )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  T )
)
28 lemul2a 10404 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( normh `  y
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normop `  T )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  T )
) )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
2927, 28mp3anl3 1321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( normh `  y
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
3020, 29mpanl2 681 . . . . . 6  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
3116, 30sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
3213, 19, 22, 24, 31letrd 9742 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  <_  (
( normop `  T )  x.  1 ) )
3315recni 9611 . . . . 5  |-  ( normop `  T )  e.  CC
3433mulid1i 9601 . . . 4  |-  ( (
normop `  T )  x.  1 )  =  (
normop `  T )
3532, 34syl6breq 4476 . . 3  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  <_  ( normop `  T ) )
3635ex 434 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  <_  ( normop `  T
) ) )
379, 36mprgbir 2807 1  |-  ( normop `  ( adjh `  T
) )  <_  ( normop `  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   A.wral 2793   class class class wbr 4437   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    x. cmul 9500   RR*cxr 9630    <_ cle 9632   ~Hchil 25812   normhcno 25816   normopcnop 25838   BndLinOpcbo 25841   adjhcado 25848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575  ax-hilex 25892  ax-hfvadd 25893  ax-hvcom 25894  ax-hvass 25895  ax-hv0cl 25896  ax-hvaddid 25897  ax-hfvmul 25898  ax-hvmulid 25899  ax-hvmulass 25900  ax-hvdistr1 25901  ax-hvdistr2 25902  ax-hvmul0 25903  ax-hfi 25972  ax-his1 25975  ax-his2 25976  ax-his3 25977  ax-his4 25978  ax-hcompl 26095
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-starv 14693  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-unif 14701  df-hom 14702  df-cco 14703  df-rest 14801  df-topn 14802  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-topgen 14822  df-pt 14823  df-prds 14826  df-xrs 14880  df-qtop 14885  df-imas 14886  df-xps 14888  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-submnd 15945  df-mulg 16038  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-fbas 18394  df-fg 18395  df-cnfld 18399  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-topsp 19380  df-cld 19497  df-ntr 19498  df-cls 19499  df-nei 19576  df-cn 19705  df-cnp 19706  df-lm 19707  df-t1 19792  df-haus 19793  df-tx 20040  df-hmeo 20233  df-fil 20324  df-fm 20416  df-flim 20417  df-flf 20418  df-xms 20800  df-ms 20801  df-tms 20802  df-cfil 21671  df-cau 21672  df-cmet 21673  df-grpo 25169  df-gid 25170  df-ginv 25171  df-gdiv 25172  df-ablo 25260  df-subgo 25280  df-vc 25415  df-nv 25461  df-va 25464  df-ba 25465  df-sm 25466  df-0v 25467  df-vs 25468  df-nmcv 25469  df-ims 25470  df-dip 25587  df-ssp 25611  df-ph 25704  df-cbn 25755  df-hnorm 25861  df-hba 25862  df-hvsub 25864  df-hlim 25865  df-hcau 25866  df-sh 26100  df-ch 26115  df-oc 26146  df-ch0 26147  df-shs 26202  df-pjh 26289  df-h0op 26643  df-nmop 26734  df-cnop 26735  df-lnop 26736  df-bdop 26737  df-unop 26738  df-hmop 26739  df-nmfn 26740  df-nlfn 26741  df-cnfn 26742  df-lnfn 26743  df-adjh 26744
This theorem is referenced by:  nmopadji  26985
  Copyright terms: Public domain W3C validator