Theorem nmop0 11547

Description: The norm of the zero operator is zero.

Assertion

Ref	Expression
nmop0	|- (normop` 0hop) = 0

Proof of Theorem nmop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ho0f 11314	. . 3 |- 0hop:~H-->~H
2		nmopval 11419	. . 3 |- (0hop:~H-->~H -> (normop` 0hop) = sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (0hop` y)))}, RR*, < ))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- (normop` 0hop) = sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (0hop` y)))}, RR*, < )
4		r19.41v 2236	. . . . . 6 |- (E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = 0) <-> (E.y e. ~H (normh` y) <_ 1 /\ x = 0))
5		ho0val 11313	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. ~H -> (0hop` y) = 0h)
6	5	fveq2d 4685	. . . . . . . . . 10 |- (y e. ~H -> (normh` (0hop` y)) = (normh` 0h))
7		norm0 10628	. . . . . . . . . 10 |- (normh` 0h) = 0
8	6, 7	syl6eq 1944	. . . . . . . . 9 |- (y e. ~H -> (normh` (0hop` y)) = 0)
9	8	eqeq2d 1895	. . . . . . . 8 |- (y e. ~H -> (x = (normh` (0hop` y)) <-> x = 0))
10	9	anbi2d 678	. . . . . . 7 |- (y e. ~H -> (((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (0hop` y))) <-> ((normh` y) <_ 1 /\ x = 0)))
11	10	rexbiia 2134	. . . . . 6 |- (E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (0hop` y))) <-> E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = 0))
12		ax-hv0cl 10505	. . . . . . . 8 |- 0h e. ~H
13		0re 6603	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
14		1re 6598	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
15		lt01 6871	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
16	13, 14, 15	ltleii 6756	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
17		fveq2 4681	. . . . . . . . . . 11 |- (y = 0h -> (normh` y) = (normh` 0h))
18	17, 7	syl6eq 1944	. . . . . . . . . 10 |- (y = 0h -> (normh` y) = 0)
19	18	breq1d 3348	. . . . . . . . 9 |- (y = 0h -> ((normh` y) <_ 1 <-> 0 <_ 1))
20	19	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- ((0h e. ~H /\ 0 <_ 1) -> E.y e. ~H (normh` y) <_ 1)
21	12, 16, 20	mp2an 761	. . . . . . 7 |- E.y e. ~H (normh` y) <_ 1
22	21	biantrur 794	. . . . . 6 |- (x = 0 <-> (E.y e. ~H (normh` y) <_ 1 /\ x = 0))
23	4, 11, 22	3bitr4i 200	. . . . 5 |- (E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (0hop` y))) <-> x = 0)
24	23	abbii 2006	. . . 4 |- {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (0hop` y)))} = {x | x = 0}
25		df-sn 3049	. . . 4 |- {0} = {x | x = 0}
26	24, 25	eqtr4i 1911	. . 3 |- {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (0hop` y)))} = {0}
27		supeq1 5665	. . 3 |- ({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (0hop` y)))} = {0} -> sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (0hop` y)))}, RR*, < ) = sup({0}, RR*, < ))
28	26, 27	ax-mp 7	. 2 |- sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` (0hop` y)))}, RR*, < ) = sup({0}, RR*, < )
29		rexr 6668	. . . 4 |- (0 e. RR -> 0 e. RR*)
30	13, 29	ax-mp 7	. . 3 |- 0 e. RR*
31		xrltso 6729	. . . 4 |- < Or RR*
32	31	supsn 5681	. . 3 |- (0 e. RR* -> sup({0}, RR*, < ) = 0)
33	30, 32	ax-mp 7	. 2 |- sup({0}, RR*, < ) = 0
34	3, 28, 33	3eqtri 1912	1 |- (normop` 0hop) = 0

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  {csn 3044   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  supcsup 5663  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  ~Hchil 10420  0hc0v 10423  normhcno 10426  0_hopch0o 10444  norm_opcnop 10446

This theorem is referenced by:  nmop0h 11553  0bdop 11555  nmlnop0iALT 11557  pjbdlni 11720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-h0op 11311  df-nmop 11402

Copyright terms: Public domain