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Theorem nmoolb 26257
Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmolb.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmolb.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmolb.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmolb.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmolb.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
Assertion
Ref Expression
nmoolb  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  ( N `  T )
)

Proof of Theorem nmoolb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmolb.2 . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
2 nmolb.m . . . . . 6  |-  M  =  ( normCV `  W )
31, 2nmosetre 26250 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  ->  { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR )
4 ressxr 9683 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
53, 4syl6ss 3482 . . . 4  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  ->  { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
653adant1 1023 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
7 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( L `  y )  =  ( L `  A ) )
87breq1d 4436 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( L `  y
)  <_  1  <->  ( L `  A )  <_  1
) )
9 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
109fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( M `  ( T `  y ) )  =  ( M `  ( T `  A )
) )
1110eqeq2d 2443 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) )  <->  ( M `  ( T `  A
) )  =  ( M `  ( T `
 A ) ) ) )
128, 11anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( L `  A )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  A ) ) ) ) )
13 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  A )
)
1413biantru 507 . . . . . 6  |-  ( ( L `  A )  <_  1  <->  ( ( L `  A )  <_  1  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  A )
) ) )
1512, 14syl6bbr 266 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) )  <-> 
( L `  A
)  <_  1 ) )
1615rspcev 3188 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( L `  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
17 fvex 5891 . . . . 5  |-  ( M `
 ( T `  A ) )  e. 
_V
18 eqeq1 2433 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M `  ( T `  A ) )  ->  ( x  =  ( M `  ( T `  y ) )  <->  ( M `  ( T `  A ) )  =  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
1918anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M `  ( T `  A ) )  ->  ( (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  y )
) ) ) )
2019rexbidv 2946 . . . . 5  |-  ( x  =  ( M `  ( T `  A ) )  ->  ( E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  y )
) ) ) )
2117, 20elab 3224 . . . 4  |-  ( ( M `  ( T `
 A ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
2216, 21sylibr 215 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( L `  A )  <_  1 )  -> 
( M `  ( T `  A )
)  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) } )
23 supxrub 11610 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
246, 22, 23syl2an 479 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
25 nmolb.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
26 nmolb.l . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
27 nmolb.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
2825, 1, 26, 2, 27nmooval 26249 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
2928adantr 466 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( N `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
3024, 29breqtrrd 4452 1  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  ( N `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   {cab 2414   E.wrex 2783    C_ wss 3442   class class class wbr 4426   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7960   RRcr 9537   1c1 9539   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675   NrmCVeccnv 26048   BaseSetcba 26050   normCVcnmcv 26054   normOpOLDcnmoo 26227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-nmcv 26064  df-nmoo 26231
This theorem is referenced by:  nmblolbii  26285
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