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Theorem nmoolb 24170
Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmolb.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmolb.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmolb.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmolb.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmolb.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
Assertion
Ref Expression
nmoolb  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  ( N `  T )
)

Proof of Theorem nmoolb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmolb.2 . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
2 nmolb.m . . . . . 6  |-  M  =  ( normCV `  W )
31, 2nmosetre 24163 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  ->  { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR )
4 ressxr 9426 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
53, 4syl6ss 3367 . . . 4  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  ->  { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
653adant1 1006 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
7 fveq2 5690 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( L `  y )  =  ( L `  A ) )
87breq1d 4301 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( L `  y
)  <_  1  <->  ( L `  A )  <_  1
) )
9 fveq2 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
109fveq2d 5694 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( M `  ( T `  y ) )  =  ( M `  ( T `  A )
) )
1110eqeq2d 2453 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) )  <->  ( M `  ( T `  A
) )  =  ( M `  ( T `
 A ) ) ) )
128, 11anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( L `  A )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  A ) ) ) ) )
13 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  A )
)
1413biantru 505 . . . . . 6  |-  ( ( L `  A )  <_  1  <->  ( ( L `  A )  <_  1  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  A )
) ) )
1512, 14syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) )  <-> 
( L `  A
)  <_  1 ) )
1615rspcev 3072 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( L `  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
17 fvex 5700 . . . . 5  |-  ( M `
 ( T `  A ) )  e. 
_V
18 eqeq1 2448 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M `  ( T `  A ) )  ->  ( x  =  ( M `  ( T `  y ) )  <->  ( M `  ( T `  A ) )  =  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
1918anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M `  ( T `  A ) )  ->  ( (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  y )
) ) ) )
2019rexbidv 2735 . . . . 5  |-  ( x  =  ( M `  ( T `  A ) )  ->  ( E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  y )
) ) ) )
2117, 20elab 3105 . . . 4  |-  ( ( M `  ( T `
 A ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
2216, 21sylibr 212 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( L `  A )  <_  1 )  -> 
( M `  ( T `  A )
)  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) } )
23 supxrub 11286 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
246, 22, 23syl2an 477 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
25 nmolb.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
26 nmolb.l . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
27 nmolb.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
2825, 1, 26, 2, 27nmooval 24162 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
2928adantr 465 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( N `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
3024, 29breqtrrd 4317 1  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  ( N `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2428   E.wrex 2715    C_ wss 3327   class class class wbr 4291   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   supcsup 7689   RRcr 9280   1c1 9282   RR*cxr 9416    < clt 9417    <_ cle 9418   NrmCVeccnv 23961   BaseSetcba 23963   normCVcnmcv 23967   normOpOLDcnmoo 24140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-vc 23923  df-nv 23969  df-va 23972  df-ba 23973  df-sm 23974  df-0v 23975  df-nmcv 23977  df-nmoo 24144
This theorem is referenced by:  nmblolbii  24198
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