Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmooge0 Structured version   Unicode version

Theorem nmooge0 24302
 Description: The norm of an operator is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoxr.1
nmoxr.2
nmoxr.3
Assertion
Ref Expression
nmooge0

Proof of Theorem nmooge0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 9531 . . 3
21a1i 11 . 2
3 simp2 989 . . . 4
4 nmoxr.1 . . . . . . . 8
5 eqid 2451 . . . . . . . 8
64, 5nvzcl 24149 . . . . . . 7
7 ffvelrn 5940 . . . . . . 7
86, 7sylan2 474 . . . . . 6
98ancoms 453 . . . . 5
1093adant2 1007 . . . 4
11 nmoxr.2 . . . . 5
12 eqid 2451 . . . . 5 CV CV
1311, 12nvcl 24182 . . . 4 CV
143, 10, 13syl2anc 661 . . 3 CV
1514rexrd 9534 . 2 CV
16 nmoxr.3 . . 3
174, 11, 16nmoxr 24301 . 2
1811, 12nvge0 24197 . . 3 CV
193, 10, 18syl2anc 661 . 2 CV
2011, 12nmosetre 24299 . . . . . . 7 CV CV
21 ressxr 9528 . . . . . . 7
2220, 21syl6ss 3466 . . . . . 6 CV CV
23 eqid 2451 . . . . . . 7 CV CV
244, 5, 23nmosetn0 24300 . . . . . 6 CV CV CV
25 supxrub 11388 . . . . . 6 CV CV CV CV CV CV CV CV
2622, 24, 25syl2an 477 . . . . 5 CV CV CV
27263impa 1183 . . . 4 CV CV CV
28273comr 1196 . . 3 CV CV CV
294, 11, 23, 12, 16nmooval 24298 . . 3 CV CV
3028, 29breqtrrd 4416 . 2 CV
312, 15, 17, 19, 30xrletrd 11237 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  cab 2436  wrex 2796   wss 3426   class class class wbr 4390  wf 5512  cfv 5516  (class class class)co 6190  csup 7791  cr 9382  cc0 9383  c1 9384  cxr 9518   clt 9519   cle 9520  cnv 24097  cba 24099  cn0v 24101  CVcnmcv 24103  cnmoo 24276 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-rp 11093  df-seq 11908  df-exp 11967  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-grpo 23813  df-gid 23814  df-ginv 23815  df-ablo 23904  df-vc 24059  df-nv 24105  df-va 24108  df-ba 24109  df-sm 24110  df-0v 24111  df-nmcv 24113  df-nmoo 24280 This theorem is referenced by:  nmlnogt0  24332  htthlem  24454
 Copyright terms: Public domain W3C validator