Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoo0 Structured version   Unicode version

Theorem nmoo0 25537
 Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoo0.3
nmoo0.0
Assertion
Ref Expression
nmoo0

Proof of Theorem nmoo0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5
2 eqid 2467 . . . . 5
3 nmoo0.0 . . . . 5
41, 2, 30oo 25535 . . . 4
5 eqid 2467 . . . . 5 CV CV
6 eqid 2467 . . . . 5 CV CV
7 nmoo0.3 . . . . 5
81, 2, 5, 6, 7nmooval 25509 . . . 4 CV CV
94, 8mpd3an3 1325 . . 3 CV CV
10 df-sn 4034 . . . . 5
11 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
121, 11nvzcl 25360 . . . . . . . . . 10
1311, 5nvz0 25402 . . . . . . . . . . 11 CV
14 0le1 10088 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl6eqbr 4490 . . . . . . . . . 10 CV
16 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12 CV CV
1716breq1d 4463 . . . . . . . . . . 11 CV CV
1817rspcev 3219 . . . . . . . . . 10 CV CV
1912, 15, 18syl2anc 661 . . . . . . . . 9 CV
2019biantrurd 508 . . . . . . . 8 CV
2120adantr 465 . . . . . . 7 CV
22 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15
231, 22, 30oval 25534 . . . . . . . . . . . . . 14
24233expa 1196 . . . . . . . . . . . . 13
2524fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12 CV CV
2622, 6nvz0 25402 . . . . . . . . . . . . 13 CV
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 CV
2825, 27eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11 CV
2928eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10 CV
3029anbi2d 703 . . . . . . . . 9 CV CV CV
3130rexbidva 2975 . . . . . . . 8 CV CV CV
32 r19.41v 3019 . . . . . . . 8 CV CV
3331, 32syl6rbb 262 . . . . . . 7 CV CV CV
3421, 33bitrd 253 . . . . . 6 CV CV
3534abbidv 2603 . . . . 5 CV CV
3610, 35syl5req 2521 . . . 4 CV CV
3736supeq1d 7918 . . 3 CV CV
389, 37eqtrd 2508 . 2
39 xrltso 11359 . . 3
40 0xr 9652 . . 3
41 supsn 7942 . . 3
4239, 40, 41mp2an 672 . 2
4338, 42syl6eq 2524 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cab 2452  wrex 2818  csn 4033   class class class wbr 4453   wor 4805  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  csup 7912  cc0 9504  c1 9505  cxr 9639   clt 9640   cle 9641  cnv 25308  cba 25310  cn0v 25312  CVcnmcv 25314  cnmoo 25487   c0o 25489 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-grpo 25024  df-gid 25025  df-ginv 25026  df-ablo 25115  df-vc 25270  df-nv 25316  df-va 25319  df-ba 25320  df-sm 25321  df-0v 25322  df-nmcv 25324  df-nmoo 25491  df-0o 25493 This theorem is referenced by:  0blo  25538  nmlno0lem  25539
 Copyright terms: Public domain W3C validator