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Theorem nmoleub2lem3 19076
Description: Lemma for nmoleub2a 19078 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoleub2.v  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoleub2.l  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoleub2.m  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub2.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmoleub2.w  |-  K  =  ( Base `  G
)
nmoleub2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
nmoleub2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nmoleub2a.5  |-  ( ph  ->  QQ  C_  K )
nmoleub2lem3.p  |-  .x.  =  ( .s `  S )
nmoleub2lem3.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nmoleub2lem3.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
nmoleub2lem3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
nmoleub2lem3.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  ( 0g
`  S ) )
nmoleub2lem3.5  |-  ( ph  ->  ( ( r  .x.  B )  e.  V  ->  ( ( L `  ( r  .x.  B
) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
nmoleub2lem3.6  |-  ( ph  ->  -.  ( M `  ( F `  B ) )  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem3  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    A, r    F, r    L, r    M, r    ph, r    B, r    R, r
Allowed substitution hints:    S( r)    T( r)    .x. ( r)    G( r)    K( r)    N( r)    V( r)

Proof of Theorem nmoleub2lem3
StepHypRef Expression
1 nmoleub2lem3.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nmoleub2.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32rpred 10604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
41, 3remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  x.  R
)  e.  RR )
5 inss1 3521 . . . . . . . . 9  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
6 nmoleub2.t . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
75, 6sseldi 3306 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e. NrmMod )
8 nlmngp 18666 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
10 nmoleub2.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
11 nmoleub2.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  S
)
12 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
1311, 12lmhmf 16065 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
1410, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : V --> ( Base `  T ) )
15 nmoleub2lem3.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
1614, 15ffvelrnd 5830 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  ( Base `  T ) )
17 nmoleub2.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( norm `  T
)
1812, 17nmcl 18615 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  B )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR )
199, 16, 18syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  B )
)  e.  RR )
20 0re 9047 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
22 nmoleub2.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
235, 22sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e. NrmMod )
24 nlmngp 18666 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
26 nmoleub2.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( norm `  S
)
2711, 26nmcl 18615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  ( L `  B )  e.  RR )
2825, 15, 27syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L `  B
)  e.  RR )
291, 28remulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( L `  B )
)  e.  RR )
30 nmoleub2lem3.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3111, 26nmge0 18616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( L `  B
) )
3225, 15, 31syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( L `  B ) )
331, 28, 30, 32mulge0d 9559 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
34 nmoleub2lem3.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( M `  ( F `  B ) )  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
3529, 19ltnled 9176 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( L `  B ) )  <  ( M `
 ( F `  B ) )  <->  -.  ( M `  ( F `  B ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  B )
) ) )
3634, 35mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( L `  B )
)  <  ( M `  ( F `  B
) ) )
3721, 29, 19, 33, 36lelttrd 9184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( M `
 ( F `  B ) ) )
3819, 37elrpd 10602 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  B )
)  e.  RR+ )
394, 38rerpdivcld 10631 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  e.  RR )
40 nmoleub2lem3.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =/=  ( 0g
`  S ) )
41 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
4211, 26, 41nmrpcl 18619 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  B  e.  V  /\  B  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  B )  e.  RR+ )
4325, 15, 40, 42syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L `  B
)  e.  RR+ )
443, 43rerpdivcld 10631 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  /  ( L `  B )
)  e.  RR )
451recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
463recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
4728recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  B
)  e.  CC )
48 mulass 9034 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  R  e.  CC  /\  ( L `  B )  e.  CC )  ->  (
( A  x.  R
)  x.  ( L `
 B ) )  =  ( A  x.  ( R  x.  ( L `  B )
) ) )
49 mul12 9188 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  R  e.  CC  /\  ( L `  B )  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( R  x.  ( L `  B
) ) )  =  ( R  x.  ( A  x.  ( L `  B ) ) ) )
5048, 49eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  R  e.  CC  /\  ( L `  B )  e.  CC )  ->  (
( A  x.  R
)  x.  ( L `
 B ) )  =  ( R  x.  ( A  x.  ( L `  B )
) ) )
5145, 46, 47, 50syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  R )  x.  ( L `  B )
)  =  ( R  x.  ( A  x.  ( L `  B ) ) ) )
5229, 19, 2, 36ltmul2dd 10656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( A  x.  ( L `  B ) ) )  <  ( R  x.  ( M `  ( F `
 B ) ) ) )
5351, 52eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  R )  x.  ( L `  B )
)  <  ( R  x.  ( M `  ( F `  B )
) ) )
5443rpregt0d 10610 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L `  B )  e.  RR  /\  0  <  ( L `
 B ) ) )
5519, 37jca 519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
56 lt2mul2div 9842 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  x.  R )  e.  RR  /\  ( ( L `  B )  e.  RR  /\  0  <  ( L `
 B ) ) )  /\  ( R  e.  RR  /\  (
( M `  ( F `  B )
)  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  R )  x.  ( L `  B ) )  < 
( R  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  <-> 
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  ( R  / 
( L `  B
) ) ) )
574, 54, 3, 55, 56syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  R )  x.  ( L `  B
) )  <  ( R  x.  ( M `  ( F `  B
) ) )  <->  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  ( R  /  ( L `  B ) ) ) )
5853, 57mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  ( R  / 
( L `  B
) ) )
59 qbtwnre 10741 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  e.  RR  /\  ( R  /  ( L `  B ) )  e.  RR  /\  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  ( R  /  ( L `  B ) ) )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( ( A  x.  R )  / 
( M `  ( F `  B )
) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) ) )
6039, 44, 58, 59syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  QQ  ( ( ( A  x.  R )  / 
( M `  ( F `  B )
) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) ) )
61 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r )
6210ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
63 nmoleub2a.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  QQ  C_  K )
6463sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e.  K )
6564adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  e.  K )
6615ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  B  e.  V )
67 nmoleub2.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  G  =  (Scalar `  S )
68 nmoleub2.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( Base `  G
)
69 nmoleub2lem3.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  ( .s `  S )
70 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .s
`  T )  =  ( .s `  T
)
7167, 68, 11, 69, 70lmhmlin 16066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  r  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  ( F `  ( r  .x.  B ) )  =  ( r ( .s
`  T ) ( F `  B ) ) )
7262, 65, 66, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( F `  (
r  .x.  B )
)  =  ( r ( .s `  T
) ( F `  B ) ) )
7372fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  ( F `  ( r  .x.  B ) ) )  =  ( M `  ( r ( .s
`  T ) ( F `  B ) ) ) )
747ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  T  e. NrmMod )
75 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
7667, 75lmhmsca 16061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  (Scalar `  T
)  =  G )
7762, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
(Scalar `  T )  =  G )
7877fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( Base `  (Scalar `  T
) )  =  (
Base `  G )
)
7978, 68syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( Base `  (Scalar `  T
) )  =  K )
8065, 79eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
8116ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( F `  B
)  e.  ( Base `  T ) )
82 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
)
83 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( norm `  (Scalar `  T )
)  =  ( norm `  (Scalar `  T )
)
8412, 17, 70, 75, 82, 83nmvs 18665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e. NrmMod  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) )  /\  ( F `  B )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( r
( .s `  T
) ( F `  B ) ) )  =  ( ( (
norm `  (Scalar `  T
) ) `  r
)  x.  ( M `
 ( F `  B ) ) ) )
8574, 80, 81, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  (
r ( .s `  T ) ( F `
 B ) ) )  =  ( ( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  r )  x.  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
8677fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( norm `  (Scalar `  T
) )  =  (
norm `  G )
)
8786fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  r )  =  ( ( norm `  G
) `  r )
)
88 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ CMod
8988, 22sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  S  e. CMod )
9089ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  S  e. CMod )
9167, 68clmabs 19060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e. CMod  /\  r  e.  K )  ->  ( abs `  r )  =  ( ( norm `  G
) `  r )
)
9290, 65, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( abs `  r
)  =  ( (
norm `  G ) `  r ) )
93 qre 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  QQ  ->  r  e.  RR )
9493ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  e.  RR )
9520a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
0  e.  RR )
9639ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  e.  RR )
972rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
981, 3, 30, 97mulge0d 9559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  R ) )
99 divge0 9835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  x.  R )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  R ) )  /\  ( ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
1004, 98, 19, 37, 99syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
101100ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
10295, 96, 94, 101, 61lelttrd 9184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
0  <  r )
10395, 94, 102ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
0  <_  r )
10494, 103absidd 12180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( abs `  r
)  =  r )
10592, 104eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( norm `  G
) `  r )  =  r )
10687, 105eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  r )  =  r )
107106oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( ( norm `  (Scalar `  T )
) `  r )  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  =  ( r  x.  ( M `
 ( F `  B ) ) ) )
10873, 85, 1073eqtrd 2440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  ( F `  ( r  .x.  B ) ) )  =  ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) ) )
109108oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  =  ( ( r  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  /  R
) )
11023ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  S  e. NrmMod )
111 nlmlmod 18667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e.  LMod )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  S  e.  LMod )
11311, 67, 69, 68lmodvscl 15922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  r  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
r  .x.  B )  e.  V )
114112, 65, 66, 113syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  .x.  B
)  e.  V )
115 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
11611, 26, 69, 67, 68, 115nmvs 18665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  r  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  ( L `  ( r  .x.  B ) )  =  ( ( ( norm `  G ) `  r
)  x.  ( L `
 B ) ) )
117110, 65, 66, 116syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( L `  (
r  .x.  B )
)  =  ( ( ( norm `  G
) `  r )  x.  ( L `  B
) ) )
118105oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( ( norm `  G ) `  r
)  x.  ( L `
 B ) )  =  ( r  x.  ( L `  B
) ) )
119117, 118eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( L `  (
r  .x.  B )
)  =  ( r  x.  ( L `  B ) ) )
120 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) )
1213ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  R  e.  RR )
12254ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( L `  B )  e.  RR  /\  0  <  ( L `
 B ) ) )
123 ltmuldiv 9836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  (
( L `  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( L `  B ) ) )  ->  ( ( r  x.  ( L `  B ) )  < 
R  <->  r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) ) )
12494, 121, 122, 123syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( r  x.  ( L `  B
) )  <  R  <->  r  <  ( R  / 
( L `  B
) ) ) )
125120, 124mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  x.  ( L `  B )
)  <  R )
126119, 125eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( L `  (
r  .x.  B )
)  <  R )
127 nmoleub2lem3.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( r  .x.  B )  e.  V  ->  ( ( L `  ( r  .x.  B
) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
128127ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( r  .x.  B )  e.  V  ->  ( ( L `  ( r  .x.  B
) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
129114, 126, 128mp2d 43 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  <_  A )
130109, 129eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  /  R
)  <_  A )
13119ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  ( F `  B )
)  e.  RR )
13294, 131remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  e.  RR )
1331ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  A  e.  RR )
1342ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
135132, 133, 134ledivmul2d 10654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( ( r  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  /  R
)  <_  A  <->  ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  <_  ( A  x.  R )
) )
136130, 135mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  <_  ( A  x.  R ) )
137133, 121remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( A  x.  R
)  e.  RR )
13855ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
139 lemuldiv 9845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  RR  /\  ( A  x.  R
)  e.  RR  /\  ( ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) )  -> 
( ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  <_  ( A  x.  R )  <->  r  <_  ( ( A  x.  R )  / 
( M `  ( F `  B )
) ) ) )
14094, 137, 138, 139syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  <_  ( A  x.  R )  <->  r  <_  ( ( A  x.  R )  / 
( M `  ( F `  B )
) ) ) )
141136, 140mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  <_  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
14294, 96lenltd 9175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  <_  (
( A  x.  R
)  /  ( M `
 ( F `  B ) ) )  <->  -.  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r ) )
143141, 142mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  -.  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r )
14461, 143pm2.21dd 101 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  ( F `  B )
)  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
145144ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) )  ->  ( M `  ( F `  B ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  B )
) ) )
146145rexlimdva 2790 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) )  ->  ( M `  ( F `  B ) )  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) ) )
14760, 146mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  B )
)  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
148147, 34pm2.65i 167 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   QQcq 10530   RR+crp 10568   abscabs 11994   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   0gc0g 13678   LModclmod 15905   LMHom clmhm 16050   normcnm 18577  NrmGrpcngp 18578  NrmModcnlm 18581   normOpcnmo 18692  CModcclm 19040
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-topgen 13622  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lmhm 16053  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-xms 18303  df-ms 18304  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nlm 18587  df-clm 19041
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